Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57033 / 89921
↖ ↑ ↗
← S 55.480410°
W 23.354187°		 ← 173.08 m → S 55.480410°
W 23.351440°		 →
↑
173.10 m
↓
↑
173.10 m
↓
S 55.481966°
W 23.354187°		 ← 173.07 m →
29 960 m²		 S 55.481966°
W 23.351440°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57033 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89921 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435131072998047 y=0.686046600341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435131072998047 × 217)
    floor (0.435131072998047 × 131072)
    floor (57033.5)     		tx = 57033
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.686046600341797 × 217)
    floor (0.686046600341797 × 131072)
    floor (89921.5)     		ty = 89921
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57033 / 89921 ti = "17/57033/89921"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57033/89921.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57033 ÷ 217
    57033 ÷ 131072     		x = 0.435127258300781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89921 ÷ 217
    89921 ÷ 131072     		y = 0.686042785644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435127258300781 × 2 - 1) × π
    -0.129745483398438 × 3.1415926535     		Λ = -0.40760746
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.686042785644531 × 2 - 1) × π
    -0.372085571289062 × 3.1415926535     		Φ = -1.16894129723507
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40760746} λ = -0.40760746}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16894129723507))-π/2
    2×atan(0.310695701603378)-π/2
    2×0.301240251423122-π/2
    0.602480502846245-1.57079632675     		φ = -0.96831582
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40760746} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.354187°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96831582 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.480410°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57033 KachelY 89921 -0.40760746 -0.96831582 -23.354187 -55.480410
    Oben rechts KachelX + 1 57034 KachelY 89921 -0.40755952 -0.96831582 -23.351440 -55.480410
    Unten links KachelX 57033 KachelY + 1 89922 -0.40760746 -0.96834299 -23.354187 -55.481966
    Unten rechts KachelX + 1 57034 KachelY + 1 89922 -0.40755952 -0.96834299 -23.351440 -55.481966
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96831582--0.96834299) × R
    2.71699999999653e-05 × 6371000     		dl = 173.100069999779m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96831582--0.96834299) × R
    2.71699999999653e-05 × 6371000     		dr = 173.100069999779m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40760746--0.40755952) × cos(-0.96831582) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.566687984799076 × 6371000     		do = 173.081097106253m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40760746--0.40755952) × cos(-0.96834299) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.566665598344491 × 6371000     		du = 173.074259706795m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96831582)-sin(-0.96834299))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.566687984799076-0.566665598344491)×R²
    abs(-0.40755952--0.40760746)×2.23864545846331e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.23864545846331e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.23864545846331e-05×40589641000000     		ar = 29959.7582494946m²