Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57031 / 90007
↖ ↑ ↗
← S 55.614038°
W 23.359680°		 ← 172.49 m → S 55.614038°
W 23.356933°		 →
↑
172.46 m
↓
↑
172.46 m
↓
S 55.615589°
W 23.359680°		 ← 172.49 m →
29 748 m²		 S 55.615589°
W 23.356933°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57031 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90007 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435115814208984 y=0.686702728271484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435115814208984 × 217)
    floor (0.435115814208984 × 131072)
    floor (57031.5)     		tx = 57031
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.686702728271484 × 217)
    floor (0.686702728271484 × 131072)
    floor (90007.5)     		ty = 90007
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57031 / 90007 ti = "17/57031/90007"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57031/90007.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57031 ÷ 217
    57031 ÷ 131072     		x = 0.435111999511719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90007 ÷ 217
    90007 ÷ 131072     		y = 0.686698913574219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435111999511719 × 2 - 1) × π
    -0.129776000976562 × 3.1415926535     		Λ = -0.40770333
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.686698913574219 × 2 - 1) × π
    -0.373397827148438 × 3.1415926535     		Φ = -1.17306387060239
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40770333} λ = -0.40770333}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17306387060239))-π/2
    2×atan(0.309417472385827)-π/2
    2×0.300074127713121-π/2
    0.600148255426242-1.57079632675     		φ = -0.97064807
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40770333} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.359680°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97064807 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.614038°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57031 KachelY 90007 -0.40770333 -0.97064807 -23.359680 -55.614038
    Oben rechts KachelX + 1 57032 KachelY 90007 -0.40765539 -0.97064807 -23.356933 -55.614038
    Unten links KachelX 57031 KachelY + 1 90008 -0.40770333 -0.97067514 -23.359680 -55.615589
    Unten rechts KachelX + 1 57032 KachelY + 1 90008 -0.40765539 -0.97067514 -23.356933 -55.615589
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97064807--0.97067514) × R
    2.70700000000179e-05 × 6371000     		dl = 172.462970000114m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97064807--0.97067514) × R
    2.70700000000179e-05 × 6371000     		dr = 172.462970000114m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40770333--0.40765539) × cos(-0.97064807) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.564764828802125 × 6371000     		do = 172.493715762749m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40770333--0.40765539) × cos(-0.97067514) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.564742489026438 × 6371000     		du = 172.486892620229m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97064807)-sin(-0.97067514))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.564764828802125-0.564742489026438)×R²
    abs(-0.40765539--0.40770333)×2.23397756867749e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.23397756867749e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.23397756867749e-05×40589641000000     		ar = 29748.1901590137m²