Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57029 / 89929
↖ ↑ ↗
← S 55.492860°
W 23.365174°		 ← 173.03 m → S 55.492860°
W 23.362427°		 →
↑
173.04 m
↓
↑
173.04 m
↓
S 55.494416°
W 23.365174°		 ← 173.02 m →
29 939 m²		 S 55.494416°
W 23.362427°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57029 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89929 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435100555419922 y=0.686107635498047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435100555419922 × 217)
    floor (0.435100555419922 × 131072)
    floor (57029.5)     		tx = 57029
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.686107635498047 × 217)
    floor (0.686107635498047 × 131072)
    floor (89929.5)     		ty = 89929
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57029 / 89929 ti = "17/57029/89929"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57029/89929.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57029 ÷ 217
    57029 ÷ 131072     		x = 0.435096740722656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89929 ÷ 217
    89929 ÷ 131072     		y = 0.686103820800781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435096740722656 × 2 - 1) × π
    -0.129806518554688 × 3.1415926535     		Λ = -0.40779921
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.686103820800781 × 2 - 1) × π
    -0.372207641601562 × 3.1415926535     		Φ = -1.16932479243203
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40779921} λ = -0.40779921}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16932479243203))-π/2
    2×atan(0.310576574137962)-π/2
    2×0.301131607529663-π/2
    0.602263215059326-1.57079632675     		φ = -0.96853311
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40779921} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.365174°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96853311 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.492860°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57029 KachelY 89929 -0.40779921 -0.96853311 -23.365174 -55.492860
    Oben rechts KachelX + 1 57030 KachelY 89929 -0.40775127 -0.96853311 -23.362427 -55.492860
    Unten links KachelX 57029 KachelY + 1 89930 -0.40779921 -0.96856027 -23.365174 -55.494416
    Unten rechts KachelX + 1 57030 KachelY + 1 89930 -0.40775127 -0.96856027 -23.362427 -55.494416
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96853311--0.96856027) × R
    2.71600000000261e-05 × 6371000     		dl = 173.036360000166m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96853311--0.96856027) × R
    2.71600000000261e-05 × 6371000     		dr = 173.036360000166m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40779921--0.40775127) × cos(-0.96853311) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.566508939134325 × 6371000     		do = 173.026411951803m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40779921--0.40775127) × cos(-0.96856027) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.566486557575449 × 6371000     		du = 173.019576047621m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96853311)-sin(-0.96856027))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.566508939134325-0.566486557575449)×R²
    abs(-0.40775127--0.40779921)×2.23815588754617e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.23815588754617e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.23815588754617e-05×40589641000000     		ar = 29939.2690799691m²