Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57028 / 89918
↖ ↑ ↗
← S 55.475740°
W 23.367920°		 ← 173.07 m → S 55.475740°
W 23.365174°		 →
↑
173.10 m
↓
↑
173.10 m
↓
S 55.477297°
W 23.367920°		 ← 173.06 m →
29 957 m²		 S 55.477297°
W 23.365174°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57028 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89918 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435092926025391 y=0.686023712158203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435092926025391 × 217)
    floor (0.435092926025391 × 131072)
    floor (57028.5)     		tx = 57028
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.686023712158203 × 217)
    floor (0.686023712158203 × 131072)
    floor (89918.5)     		ty = 89918
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57028 / 89918 ti = "17/57028/89918"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57028/89918.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57028 ÷ 217
    57028 ÷ 131072     		x = 0.435089111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89918 ÷ 217
    89918 ÷ 131072     		y = 0.686019897460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435089111328125 × 2 - 1) × π
    -0.12982177734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.40784714
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.686019897460938 × 2 - 1) × π
    -0.372039794921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.16879748653621
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40784714} λ = -0.40784714}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16879748653621))-π/2
    2×atan(0.310740386182341)-π/2
    2×0.301281001734619-π/2
    0.602562003469237-1.57079632675     		φ = -0.96823432
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40784714} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.367920°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96823432 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.475740°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57028 KachelY 89918 -0.40784714 -0.96823432 -23.367920 -55.475740
    Oben rechts KachelX + 1 57029 KachelY 89918 -0.40779921 -0.96823432 -23.365174 -55.475740
    Unten links KachelX 57028 KachelY + 1 89919 -0.40784714 -0.96826149 -23.367920 -55.477297
    Unten rechts KachelX + 1 57029 KachelY + 1 89919 -0.40779921 -0.96826149 -23.365174 -55.477297
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96823432--0.96826149) × R
    2.71699999999653e-05 × 6371000     		dl = 173.100069999779m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96823432--0.96826149) × R
    2.71699999999653e-05 × 6371000     		dr = 173.100069999779m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40784714--0.40779921) × cos(-0.96823432) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.566755133413896 × 6371000     		do = 173.065498052094m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40784714--0.40779921) × cos(-0.96826149) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.566732748214209 × 6371000     		du = 173.058662462075m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96823432)-sin(-0.96826149))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.566755133413896-0.566732748214209)×R²
    abs(-0.40779921--0.40784714)×2.23851996866697e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.23851996866697e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.23851996866697e-05×40589641000000     		ar = 29957.0582087655m²