Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57027 / 89966
↖ ↑ ↗
← S 55.550388°
W 23.370667°		 ← 172.77 m → S 55.550388°
W 23.367920°		 →
↑
172.78 m
↓
↑
172.78 m
↓
S 55.551942°
W 23.370667°		 ← 172.77 m →
29 851 m²		 S 55.551942°
W 23.367920°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57027 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89966 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435085296630859 y=0.686389923095703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435085296630859 × 217)
    floor (0.435085296630859 × 131072)
    floor (57027.5)     		tx = 57027
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.686389923095703 × 217)
    floor (0.686389923095703 × 131072)
    floor (89966.5)     		ty = 89966
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57027 / 89966 ti = "17/57027/89966"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57027/89966.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57027 ÷ 217
    57027 ÷ 131072     		x = 0.435081481933594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89966 ÷ 217
    89966 ÷ 131072     		y = 0.686386108398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435081481933594 × 2 - 1) × π
    -0.129837036132812 × 3.1415926535     		Λ = -0.40789508
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.686386108398438 × 2 - 1) × π
    -0.372772216796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.17109845771797
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40789508} λ = -0.40789508}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17109845771797))-π/2
    2×atan(0.310026203480735)-π/2
    2×0.300629575969355-π/2
    0.601259151938709-1.57079632675     		φ = -0.96953717
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40789508} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.370667°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96953717 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.550388°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57027 KachelY 89966 -0.40789508 -0.96953717 -23.370667 -55.550388
    Oben rechts KachelX + 1 57028 KachelY 89966 -0.40784714 -0.96953717 -23.367920 -55.550388
    Unten links KachelX 57027 KachelY + 1 89967 -0.40789508 -0.96956429 -23.370667 -55.551942
    Unten rechts KachelX + 1 57028 KachelY + 1 89967 -0.40784714 -0.96956429 -23.367920 -55.551942
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96953717--0.96956429) × R
    2.71200000000471e-05 × 6371000     		dl = 172.7815200003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96953717--0.96956429) × R
    2.71200000000471e-05 × 6371000     		dr = 172.7815200003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40789508--0.40784714) × cos(-0.96953717) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.565681252454568 × 6371000     		do = 172.77361513515m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40789508--0.40784714) × cos(-0.96956429) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.565658888444005 × 6371000     		du = 172.766784590674m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96953717)-sin(-0.96956429))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.565681252454568-0.565658888444005)×R²
    abs(-0.40784714--0.40789508)×2.2364010563658e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.2364010563658e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.2364010563658e-05×40589641000000     		ar = 29851.4977449836m²