Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57025 / 89923
↖ ↑ ↗
← S 55.483523°
W 23.376160°		 ← 173.03 m → S 55.483523°
W 23.373413°		 →
↑
173.04 m
↓
↑
173.04 m
↓
S 55.485079°
W 23.376160°		 ← 173.02 m →
29 940 m²		 S 55.485079°
W 23.373413°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57025 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89923 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435070037841797 y=0.686061859130859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435070037841797 × 217)
    floor (0.435070037841797 × 131072)
    floor (57025.5)     		tx = 57025
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.686061859130859 × 217)
    floor (0.686061859130859 × 131072)
    floor (89923.5)     		ty = 89923
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57025 / 89923 ti = "17/57025/89923"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57025/89923.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57025 ÷ 217
    57025 ÷ 131072     		x = 0.435066223144531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89923 ÷ 217
    89923 ÷ 131072     		y = 0.686058044433594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435066223144531 × 2 - 1) × π
    -0.129867553710938 × 3.1415926535     		Λ = -0.40799095
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.686058044433594 × 2 - 1) × π
    -0.372116088867188 × 3.1415926535     		Φ = -1.16903717103431
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40799095} λ = -0.40799095}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16903717103431))-π/2
    2×atan(0.310665915453936)-π/2
    2×0.30121308723116-π/2
    0.60242617446232-1.57079632675     		φ = -0.96837015
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40799095} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.376160°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96837015 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.483523°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57025 KachelY 89923 -0.40799095 -0.96837015 -23.376160 -55.483523
    Oben rechts KachelX + 1 57026 KachelY 89923 -0.40794302 -0.96837015 -23.373413 -55.483523
    Unten links KachelX 57025 KachelY + 1 89924 -0.40799095 -0.96839731 -23.376160 -55.485079
    Unten rechts KachelX + 1 57026 KachelY + 1 89924 -0.40794302 -0.96839731 -23.373413 -55.485079
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96837015--0.96839731) × R
    2.7159999999915e-05 × 6371000     		dl = 173.036359999459m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96837015--0.96839731) × R
    2.7159999999915e-05 × 6371000     		dr = 173.036359999459m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40799095--0.40794302) × cos(-0.96837015) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.566643219711222 × 6371000     		do = 173.031323856861m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40799095--0.40794302) × cos(-0.96839731) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.566620840659959 × 6371000     		du = 173.024490144338m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96837015)-sin(-0.96839731))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.566643219711222-0.566620840659959)×R²
    abs(-0.40794302--0.40799095)×2.23790512626776e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.23790512626776e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.23790512626776e-05×40589641000000     		ar = 29940.11920753m²