Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57024 / 88175
↖ ↑ ↗
← S 52.668055°
W 23.378906°		 ← 185.22 m → S 52.668055°
W 23.376160°		 →
↑
185.20 m
↓
↑
185.20 m
↓
S 52.669721°
W 23.378906°		 ← 185.21 m →
34 303 m²		 S 52.669721°
W 23.376160°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57024 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88175 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435062408447266 y=0.672725677490234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435062408447266 × 217)
    floor (0.435062408447266 × 131072)
    floor (57024.5)     		tx = 57024
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.672725677490234 × 217)
    floor (0.672725677490234 × 131072)
    floor (88175.5)     		ty = 88175
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57024 / 88175 ti = "17/57024/88175"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57024/88175.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57024 ÷ 217
    57024 ÷ 131072     		x = 0.43505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88175 ÷ 217
    88175 ÷ 131072     		y = 0.672721862792969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43505859375 × 2 - 1) × π
    -0.1298828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.40803889
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.672721862792969 × 2 - 1) × π
    -0.345443725585938 × 3.1415926535     		Φ = -1.08524347049845
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40803889} λ = -0.40803889}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.08524347049845))-π/2
    2×atan(0.337819526792712)-π/2
    2×0.325782679960451-π/2
    0.651565359920902-1.57079632675     		φ = -0.91923097
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40803889} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.378906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91923097 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.668055°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57024 KachelY 88175 -0.40803889 -0.91923097 -23.378906 -52.668055
    Oben rechts KachelX + 1 57025 KachelY 88175 -0.40799095 -0.91923097 -23.376160 -52.668055
    Unten links KachelX 57024 KachelY + 1 88176 -0.40803889 -0.91926004 -23.378906 -52.669721
    Unten rechts KachelX + 1 57025 KachelY + 1 88176 -0.40799095 -0.91926004 -23.376160 -52.669721
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91923097--0.91926004) × R
    2.90699999999644e-05 × 6371000     		dl = 185.204969999773m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91923097--0.91926004) × R
    2.90699999999644e-05 × 6371000     		dr = 185.204969999773m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40803889--0.40799095) × cos(-0.91923097) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.606431818953837 × 6371000     		do = 185.2198870634m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40803889--0.40799095) × cos(-0.91926004) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.606408704108881 × 6371000     		du = 185.212827194775m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91923097)-sin(-0.91926004))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.606431818953837-0.606408704108881)×R²
    abs(-0.40799095--0.40803889)×2.31148449556517e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.31148449556517e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.31148449556517e-05×40589641000000     		ar = 34302.9898679851m²