Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57020 / 89967
↖ ↑ ↗
← S 55.551942°
W 23.389893°		 ← 172.77 m → S 55.551942°
W 23.387146°		 →
↑
172.78 m
↓
↑
172.78 m
↓
S 55.553496°
W 23.389893°		 ← 172.76 m →
29 850 m²		 S 55.553496°
W 23.387146°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57020 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89967 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435031890869141 y=0.686397552490234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435031890869141 × 217)
    floor (0.435031890869141 × 131072)
    floor (57020.5)     		tx = 57020
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.686397552490234 × 217)
    floor (0.686397552490234 × 131072)
    floor (89967.5)     		ty = 89967
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57020 / 89967 ti = "17/57020/89967"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57020/89967.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57020 ÷ 217
    57020 ÷ 131072     		x = 0.435028076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89967 ÷ 217
    89967 ÷ 131072     		y = 0.686393737792969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435028076171875 × 2 - 1) × π
    -0.12994384765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.40823064
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.686393737792969 × 2 - 1) × π
    -0.372787475585938 × 3.1415926535     		Φ = -1.17114639461759
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40823064} λ = -0.40823064}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17114639461759))-π/2
    2×atan(0.310011342141945)-π/2
    2×0.300616017734724-π/2
    0.601232035469448-1.57079632675     		φ = -0.96956429
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40823064} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.389893°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96956429 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.551942°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57020 KachelY 89967 -0.40823064 -0.96956429 -23.389893 -55.551942
    Oben rechts KachelX + 1 57021 KachelY 89967 -0.40818270 -0.96956429 -23.387146 -55.551942
    Unten links KachelX 57020 KachelY + 1 89968 -0.40823064 -0.96959141 -23.389893 -55.553496
    Unten rechts KachelX + 1 57021 KachelY + 1 89968 -0.40818270 -0.96959141 -23.387146 -55.553496
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96956429--0.96959141) × R
    2.71200000000471e-05 × 6371000     		dl = 172.7815200003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96956429--0.96959141) × R
    2.71200000000471e-05 × 6371000     		dr = 172.7815200003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40823064--0.40818270) × cos(-0.96956429) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.565658888444005 × 6371000     		do = 172.766784590474m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40823064--0.40818270) × cos(-0.96959141) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.565636524017402 × 6371000     		du = 172.75995391893m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96956429)-sin(-0.96959141))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.565658888444005-0.565636524017402)×R²
    abs(-0.40818270--0.40823064)×2.2364426602639e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.2364426602639e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.2364426602639e-05×40589641000000     		ar = 29850.3175418869m²