Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57018 / 89002
↖ ↑ ↗
← S 54.023907°
W 23.395386°		 ← 179.42 m → S 54.023907°
W 23.392639°		 →
↑
179.41 m
↓
↑
179.41 m
↓
S 54.025520°
W 23.395386°		 ← 179.41 m →
32 189 m²		 S 54.025520°
W 23.392639°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57018 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89002 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435016632080078 y=0.679035186767578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435016632080078 × 217)
    floor (0.435016632080078 × 131072)
    floor (57018.5)     		tx = 57018
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.679035186767578 × 217)
    floor (0.679035186767578 × 131072)
    floor (89002.5)     		ty = 89002
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57018 / 89002 ti = "17/57018/89002"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57018/89002.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57018 ÷ 217
    57018 ÷ 131072     		x = 0.435012817382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89002 ÷ 217
    89002 ÷ 131072     		y = 0.679031372070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435012817382812 × 2 - 1) × π
    -0.129974365234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.40832651
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.679031372070312 × 2 - 1) × π
    -0.358062744140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.12488728648424
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40832651} λ = -0.40832651}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.12488728648424))-π/2
    2×atan(0.324689062141671)-π/2
    2×0.313950640725819-π/2
    0.627901281451638-1.57079632675     		φ = -0.94289505
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40832651} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.395386°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94289505 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.023907°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57018 KachelY 89002 -0.40832651 -0.94289505 -23.395386 -54.023907
    Oben rechts KachelX + 1 57019 KachelY 89002 -0.40827857 -0.94289505 -23.392639 -54.023907
    Unten links KachelX 57018 KachelY + 1 89003 -0.40832651 -0.94292321 -23.395386 -54.025520
    Unten rechts KachelX + 1 57019 KachelY + 1 89003 -0.40827857 -0.94292321 -23.392639 -54.025520
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94289505--0.94292321) × R
    2.81600000000548e-05 × 6371000     		dl = 179.407360000349m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94289505--0.94292321) × R
    2.81600000000548e-05 × 6371000     		dr = 179.407360000349m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40832651--0.40827857) × cos(-0.94289505) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.58744763562059 × 6371000     		do = 179.421628820551m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40832651--0.40827857) × cos(-0.94292321) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.587424846564696 × 6371000     		du = 179.414668456291m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94289505)-sin(-0.94292321))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.58744763562059-0.587424846564696)×R²
    abs(-0.40827857--0.40832651)×2.27890558945898e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.27890558945898e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.27890558945898e-05×40589641000000     		ar = 32188.936385457m²