Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57017 / 89963
↖ ↑ ↗
← S 55.545727°
W 23.398132°		 ← 172.79 m → S 55.545727°
W 23.395386°		 →
↑
172.78 m
↓
↑
172.78 m
↓
S 55.547281°
W 23.398132°		 ← 172.79 m →
29 855 m²		 S 55.547281°
W 23.395386°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57017 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89963 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435009002685547 y=0.686367034912109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435009002685547 × 217)
    floor (0.435009002685547 × 131072)
    floor (57017.5)     		tx = 57017
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.686367034912109 × 217)
    floor (0.686367034912109 × 131072)
    floor (89963.5)     		ty = 89963
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57017 / 89963 ti = "17/57017/89963"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57017/89963.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57017 ÷ 217
    57017 ÷ 131072     		x = 0.435005187988281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89963 ÷ 217
    89963 ÷ 131072     		y = 0.686363220214844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435005187988281 × 2 - 1) × π
    -0.129989624023438 × 3.1415926535     		Λ = -0.40837445
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.686363220214844 × 2 - 1) × π
    -0.372726440429688 × 3.1415926535     		Φ = -1.17095464701911
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40837445} λ = -0.40837445}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17095464701911))-π/2
    2×atan(0.310070791771782)-π/2
    2×0.30067025388909-π/2
    0.60134050777818-1.57079632675     		φ = -0.96945582
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40837445} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.398132°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96945582 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.545727°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57017 KachelY 89963 -0.40837445 -0.96945582 -23.398132 -55.545727
    Oben rechts KachelX + 1 57018 KachelY 89963 -0.40832651 -0.96945582 -23.395386 -55.545727
    Unten links KachelX 57017 KachelY + 1 89964 -0.40837445 -0.96948294 -23.398132 -55.547281
    Unten rechts KachelX + 1 57018 KachelY + 1 89964 -0.40832651 -0.96948294 -23.395386 -55.547281
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96945582--0.96948294) × R
    2.71200000000471e-05 × 6371000     		dl = 172.7815200003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96945582--0.96948294) × R
    2.71200000000471e-05 × 6371000     		dr = 172.7815200003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40837445--0.40832651) × cos(-0.96945582) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.565748333744082 × 6371000     		do = 172.79410348764m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40837445--0.40832651) × cos(-0.96948294) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.56572597098158 × 6371000     		du = 172.787273324354m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96945582)-sin(-0.96948294))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.565748333744082-0.56572597098158)×R²
    abs(-0.40832651--0.40837445)×2.23627625016709e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.23627625016709e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.23627625016709e-05×40589641000000     		ar = 29855.0377864309m²