Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57012 / 89949
↖ ↑ ↗
← S 55.523967°
W 23.411865°		 ← 172.85 m → S 55.523967°
W 23.409119°		 →
↑
172.91 m
↓
↑
172.91 m
↓
S 55.525522°
W 23.411865°		 ← 172.85 m →
29 887 m²		 S 55.525522°
W 23.409119°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57012 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89949 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434970855712891 y=0.686260223388672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434970855712891 × 217)
    floor (0.434970855712891 × 131072)
    floor (57012.5)     		tx = 57012
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.686260223388672 × 217)
    floor (0.686260223388672 × 131072)
    floor (89949.5)     		ty = 89949
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57012 / 89949 ti = "17/57012/89949"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57012/89949.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57012 ÷ 217
    57012 ÷ 131072     		x = 0.434967041015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89949 ÷ 217
    89949 ÷ 131072     		y = 0.686256408691406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.434967041015625 × 2 - 1) × π
    -0.13006591796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.40861413
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.686256408691406 × 2 - 1) × π
    -0.372512817382812 × 3.1415926535     		Φ = -1.17028353042443
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40861413} λ = -0.40861413}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17028353042443))-π/2
    2×atan(0.310278955268842)-π/2
    2×0.300860147970096-π/2
    0.601720295940192-1.57079632675     		φ = -0.96907603
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40861413} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.411865°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96907603 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.523967°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57012 KachelY 89949 -0.40861413 -0.96907603 -23.411865 -55.523967
    Oben rechts KachelX + 1 57013 KachelY 89949 -0.40856620 -0.96907603 -23.409119 -55.523967
    Unten links KachelX 57012 KachelY + 1 89950 -0.40861413 -0.96910317 -23.411865 -55.525522
    Unten rechts KachelX + 1 57013 KachelY + 1 89950 -0.40856620 -0.96910317 -23.409119 -55.525522
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96907603--0.96910317) × R
    2.71400000000366e-05 × 6371000     		dl = 172.908940000233m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96907603--0.96910317) × R
    2.71400000000366e-05 × 6371000     		dr = 172.908940000233m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40861413--0.40856620) × cos(-0.96907603) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.566061459400562 × 6371000     		do = 172.853676347424m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40861413--0.40856620) × cos(-0.96910317) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.566039085979144 × 6371000     		du = 172.846844354042m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96907603)-sin(-0.96910317))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.566061459400562-0.566039085979144)×R²
    abs(-0.40856620--0.40861413)×2.23734214180871e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.23734214180871e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.23734214180871e-05×40589641000000     		ar = 29887.3552977425m²