Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57002 / 87604
↖ ↑ ↗
← S 51.706608°
W 23.439331°		 ← 189.27 m → S 51.706608°
W 23.436584°		 →
↑
189.28 m
↓
↑
189.28 m
↓
S 51.708311°
W 23.439331°		 ← 189.26 m →
35 825 m²		 S 51.708311°
W 23.436584°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57002 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87604 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434894561767578 y=0.668369293212891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434894561767578 × 217)
    floor (0.434894561767578 × 131072)
    floor (57002.5)     		tx = 57002
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.668369293212891 × 217)
    floor (0.668369293212891 × 131072)
    floor (87604.5)     		ty = 87604
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57002 / 87604 ti = "17/57002/87604"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57002/87604.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57002 ÷ 217
    57002 ÷ 131072     		x = 0.434890747070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87604 ÷ 217
    87604 ÷ 131072     		y = 0.668365478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.434890747070312 × 2 - 1) × π
    -0.130218505859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.40909350
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.668365478515625 × 2 - 1) × π
    -0.33673095703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.0578715008154
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40909350} λ = -0.40909350}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.0578715008154))-π/2
    2×atan(0.34719402660751)-π/2
    2×0.334172882044179-π/2
    0.668345764088357-1.57079632675     		φ = -0.90245056
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40909350} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.439331°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90245056 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.706608°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57002 KachelY 87604 -0.40909350 -0.90245056 -23.439331 -51.706608
    Oben rechts KachelX + 1 57003 KachelY 87604 -0.40904556 -0.90245056 -23.436584 -51.706608
    Unten links KachelX 57002 KachelY + 1 87605 -0.40909350 -0.90248027 -23.439331 -51.708311
    Unten rechts KachelX + 1 57003 KachelY + 1 87605 -0.40904556 -0.90248027 -23.436584 -51.708311
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90245056--0.90248027) × R
    2.97099999999606e-05 × 6371000     		dl = 189.282409999749m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90245056--0.90248027) × R
    2.97099999999606e-05 × 6371000     		dr = 189.282409999749m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40909350--0.40904556) × cos(-0.90245056) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.619688514141345 × 6371000     		do = 189.268823001216m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40909350--0.40904556) × cos(-0.90248027) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.619665196038272 × 6371000     		du = 189.261701052329m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90245056)-sin(-0.90248027))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.619688514141345-0.619665196038272)×R²
    abs(-0.40904556--0.40909350)×2.33181030727669e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.33181030727669e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.33181030727669e-05×40589641000000     		ar = 35824.5849284689m²