Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56996 / 90016
↖ ↑ ↗
← S 55.627996°
W 23.455810°		 ← 172.40 m → S 55.627996°
W 23.453064°		 →
↑
172.40 m
↓
↑
172.40 m
↓
S 55.629547°
W 23.455810°		 ← 172.39 m →
29 720 m²		 S 55.629547°
W 23.453064°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56996 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90016 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434848785400391 y=0.686771392822266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434848785400391 × 217)
    floor (0.434848785400391 × 131072)
    floor (56996.5)     		tx = 56996
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.686771392822266 × 217)
    floor (0.686771392822266 × 131072)
    floor (90016.5)     		ty = 90016
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56996 / 90016 ti = "17/56996/90016"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56996/90016.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56996 ÷ 217
    56996 ÷ 131072     		x = 0.434844970703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90016 ÷ 217
    90016 ÷ 131072     		y = 0.686767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.434844970703125 × 2 - 1) × π
    -0.13031005859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.40938112
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.686767578125 × 2 - 1) × π
    -0.37353515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.17349530269897
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40938112} λ = -0.40938112}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17349530269897))-π/2
    2×atan(0.309284008549358)-π/2
    2×0.299952320562892-π/2
    0.599904641125785-1.57079632675     		φ = -0.97089169
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40938112} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.455810°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97089169 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.627996°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56996 KachelY 90016 -0.40938112 -0.97089169 -23.455810 -55.627996
    Oben rechts KachelX + 1 56997 KachelY 90016 -0.40933319 -0.97089169 -23.453064 -55.627996
    Unten links KachelX 56996 KachelY + 1 90017 -0.40938112 -0.97091875 -23.455810 -55.629547
    Unten rechts KachelX + 1 56997 KachelY + 1 90017 -0.40933319 -0.97091875 -23.453064 -55.629547
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97089169--0.97091875) × R
    2.70600000000787e-05 × 6371000     		dl = 172.399260000501m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97089169--0.97091875) × R
    2.70600000000787e-05 × 6371000     		dr = 172.399260000501m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40938112--0.40933319) × cos(-0.97089169) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.564563764178162 × 6371000     		do = 172.396337093791m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40938112--0.40933319) × cos(-0.97091875) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.564541428932752 × 6371000     		du = 172.389516757912m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97089169)-sin(-0.97091875))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.564563764178162-0.564541428932752)×R²
    abs(-0.40933319--0.40938112)×2.23352454101766e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.23352454101766e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.23352454101766e-05×40589641000000     		ar = 29720.4130330996m²