Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56994 / 90015
↖ ↑ ↗
← S 55.626445°
W 23.461304°		 ← 172.44 m → S 55.626445°
W 23.458557°		 →
↑
172.46 m
↓
↑
172.46 m
↓
S 55.627996°
W 23.461304°		 ← 172.43 m →
29 739 m²		 S 55.627996°
W 23.458557°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56994 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90015 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434833526611328 y=0.686763763427734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434833526611328 × 217)
    floor (0.434833526611328 × 131072)
    floor (56994.5)     		tx = 56994
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.686763763427734 × 217)
    floor (0.686763763427734 × 131072)
    floor (90015.5)     		ty = 90015
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56994 / 90015 ti = "17/56994/90015"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56994/90015.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56994 ÷ 217
    56994 ÷ 131072     		x = 0.434829711914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90015 ÷ 217
    90015 ÷ 131072     		y = 0.686759948730469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.434829711914062 × 2 - 1) × π
    -0.130340576171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.40947700
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.686759948730469 × 2 - 1) × π
    -0.373519897460938 × 3.1415926535     		Φ = -1.17344736579935
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40947700} λ = -0.40947700}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17344736579935))-π/2
    2×atan(0.309298835021195)-π/2
    2×0.299965852548928-π/2
    0.599931705097857-1.57079632675     		φ = -0.97086462
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40947700} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.461304°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97086462 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.626445°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56994 KachelY 90015 -0.40947700 -0.97086462 -23.461304 -55.626445
    Oben rechts KachelX + 1 56995 KachelY 90015 -0.40942906 -0.97086462 -23.458557 -55.626445
    Unten links KachelX 56994 KachelY + 1 90016 -0.40947700 -0.97089169 -23.461304 -55.627996
    Unten rechts KachelX + 1 56995 KachelY + 1 90016 -0.40942906 -0.97089169 -23.458557 -55.627996
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97086462--0.97089169) × R
    2.70700000000179e-05 × 6371000     		dl = 172.462970000114m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97086462--0.97089169) × R
    2.70700000000179e-05 × 6371000     		dr = 172.462970000114m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40947700--0.40942906) × cos(-0.97086462) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.564586107263916 × 6371000     		do = 172.439129604688m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40947700--0.40942906) × cos(-0.97089169) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.564563764178162 × 6371000     		du = 172.432305451187m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97086462)-sin(-0.97089169))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.564586107263916-0.564563764178162)×R²
    abs(-0.40942906--0.40947700)×2.23430857537732e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.23430857537732e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.23430857537732e-05×40589641000000     		ar = 29738.7759808584m²