Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56992 / 90017
↖ ↑ ↗
← S 55.629547°
W 23.466797°		 ← 172.43 m → S 55.629547°
W 23.464050°		 →
↑
172.40 m
↓
↑
172.40 m
↓
S 55.631097°
W 23.466797°		 ← 172.42 m →
29 725 m²		 S 55.631097°
W 23.464050°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56992 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90017 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434818267822266 y=0.686779022216797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434818267822266 × 217)
    floor (0.434818267822266 × 131072)
    floor (56992.5)     		tx = 56992
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.686779022216797 × 217)
    floor (0.686779022216797 × 131072)
    floor (90017.5)     		ty = 90017
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56992 / 90017 ti = "17/56992/90017"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56992/90017.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56992 ÷ 217
    56992 ÷ 131072     		x = 0.434814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90017 ÷ 217
    90017 ÷ 131072     		y = 0.686775207519531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.434814453125 × 2 - 1) × π
    -0.13037109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.40957287
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.686775207519531 × 2 - 1) × π
    -0.373550415039062 × 3.1415926535     		Φ = -1.17354323959859
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40957287} λ = -0.40957287}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17354323959859))-π/2
    2×atan(0.30926918278824)-π/2
    2×0.299938789112261-π/2
    0.599877578224521-1.57079632675     		φ = -0.97091875
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40957287} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.466797°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97091875 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.629547°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56992 KachelY 90017 -0.40957287 -0.97091875 -23.466797 -55.629547
    Oben rechts KachelX + 1 56993 KachelY 90017 -0.40952493 -0.97091875 -23.464050 -55.629547
    Unten links KachelX 56992 KachelY + 1 90018 -0.40957287 -0.97094581 -23.466797 -55.631097
    Unten rechts KachelX + 1 56993 KachelY + 1 90018 -0.40952493 -0.97094581 -23.464050 -55.631097
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97091875--0.97094581) × R
    2.70599999999677e-05 × 6371000     		dl = 172.399259999794m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97091875--0.97094581) × R
    2.70599999999677e-05 × 6371000     		dr = 172.399259999794m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40957287--0.40952493) × cos(-0.97091875) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.564541428932752 × 6371000     		do = 172.42548369233m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40957287--0.40952493) × cos(-0.97094581) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.56451909327396 × 6371000     		du = 172.418661807215m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97091875)-sin(-0.97094581))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.564541428932752-0.56451909327396)×R²
    abs(-0.40952493--0.40957287)×2.23356587920609e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.23356587920609e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.23356587920609e-05×40589641000000     		ar = 29725.4377516226m²