Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56989 / 89008
↖ ↑ ↗
← S 54.033586°
W 23.475037°		 ← 179.38 m → S 54.033586°
W 23.472290°		 →
↑
179.34 m
↓
↑
179.34 m
↓
S 54.035199°
W 23.475037°		 ← 179.37 m →
32 170 m²		 S 54.035199°
W 23.472290°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56989 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89008 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434795379638672 y=0.679080963134766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434795379638672 × 217)
    floor (0.434795379638672 × 131072)
    floor (56989.5)     		tx = 56989
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.679080963134766 × 217)
    floor (0.679080963134766 × 131072)
    floor (89008.5)     		ty = 89008
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56989 / 89008 ti = "17/56989/89008"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56989/89008.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56989 ÷ 217
    56989 ÷ 131072     		x = 0.434791564941406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89008 ÷ 217
    89008 ÷ 131072     		y = 0.6790771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.434791564941406 × 2 - 1) × π
    -0.130416870117188 × 3.1415926535     		Λ = -0.40971668
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6790771484375 × 2 - 1) × π
    -0.358154296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.12517490788196
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40971668} λ = -0.40971668}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.12517490788196))-π/2
    2×atan(0.324595688048631)-π/2
    2×0.313866169301869-π/2
    0.627732338603739-1.57079632675     		φ = -0.94306399
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40971668} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.475037°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94306399 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.033586°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56989 KachelY 89008 -0.40971668 -0.94306399 -23.475037 -54.033586
    Oben rechts KachelX + 1 56990 KachelY 89008 -0.40966874 -0.94306399 -23.472290 -54.033586
    Unten links KachelX 56989 KachelY + 1 89009 -0.40971668 -0.94309214 -23.475037 -54.035199
    Unten rechts KachelX + 1 56990 KachelY + 1 89009 -0.40966874 -0.94309214 -23.472290 -54.035199
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94306399--0.94309214) × R
    2.81500000000046e-05 × 6371000     		dl = 179.343650000029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94306399--0.94309214) × R
    2.81500000000046e-05 × 6371000     		dr = 179.343650000029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40971668--0.40966874) × cos(-0.94306399) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.587310910485521 × 6371000     		do = 179.379869445204m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40971668--0.40966874) × cos(-0.94309214) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.587288126729091 × 6371000     		du = 179.372910699537m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94306399)-sin(-0.94309214))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.587310910485521-0.587288126729091)×R²
    abs(-0.40966874--0.40971668)×2.27837564298339e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.27837564298339e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.27837564298339e-05×40589641000000     		ar = 32170.0165216469m²