Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56980 / 87662
↖ ↑ ↗
← S 51.805218°
W 23.499756°		 ← 188.82 m → S 51.805218°
W 23.497009°		 →
↑
188.84 m
↓
↑
188.84 m
↓
S 51.806917°
W 23.499756°		 ← 188.81 m →
35 655 m²		 S 51.806917°
W 23.497009°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56980 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87662 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434726715087891 y=0.668811798095703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434726715087891 × 217)
    floor (0.434726715087891 × 131072)
    floor (56980.5)     		tx = 56980
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.668811798095703 × 217)
    floor (0.668811798095703 × 131072)
    floor (87662.5)     		ty = 87662
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56980 / 87662 ti = "17/56980/87662"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56980/87662.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56980 ÷ 217
    56980 ÷ 131072     		x = 0.434722900390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87662 ÷ 217
    87662 ÷ 131072     		y = 0.668807983398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.434722900390625 × 2 - 1) × π
    -0.13055419921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.41014811
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.668807983398438 × 2 - 1) × π
    -0.337615966796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.06065184099336
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41014811} λ = -0.41014811}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.06065184099336))-π/2
    2×atan(0.346230049818468)-π/2
    2×0.333312349280488-π/2
    0.666624698560975-1.57079632675     		φ = -0.90417163
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41014811} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.499756°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90417163 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.805218°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56980 KachelY 87662 -0.41014811 -0.90417163 -23.499756 -51.805218
    Oben rechts KachelX + 1 56981 KachelY 87662 -0.41010018 -0.90417163 -23.497009 -51.805218
    Unten links KachelX 56980 KachelY + 1 87663 -0.41014811 -0.90420127 -23.499756 -51.806917
    Unten rechts KachelX + 1 56981 KachelY + 1 87663 -0.41010018 -0.90420127 -23.497009 -51.806917
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90417163--0.90420127) × R
    2.96399999999419e-05 × 6371000     		dl = 188.83643999963m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90417163--0.90420127) × R
    2.96399999999419e-05 × 6371000     		dr = 188.83643999963m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41014811--0.41010018) × cos(-0.90417163) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.618336818937566 × 6371000     		do = 188.816586254633m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41014811--0.41010018) × cos(-0.90420127) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.618313524198323 × 6371000     		du = 188.80947292577m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90417163)-sin(-0.90420127))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.618336818937566-0.618313524198323)×R²
    abs(-0.41010018--0.41014811)×2.32947392430072e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.32947392430072e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.32947392430072e-05×40589641000000     		ar = 35654.7803359771m²