Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56977 / 90001
↖ ↑ ↗
← S 55.604730°
W 23.507995°		 ← 172.50 m → S 55.604730°
W 23.505249°		 →
↑
172.53 m
↓
↑
172.53 m
↓
S 55.606281°
W 23.507995°		 ← 172.49 m →
29 760 m²		 S 55.606281°
W 23.505249°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56977 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90001 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434703826904297 y=0.686656951904297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434703826904297 × 217)
    floor (0.434703826904297 × 131072)
    floor (56977.5)     		tx = 56977
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.686656951904297 × 217)
    floor (0.686656951904297 × 131072)
    floor (90001.5)     		ty = 90001
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56977 / 90001 ti = "17/56977/90001"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56977/90001.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56977 ÷ 217
    56977 ÷ 131072     		x = 0.434700012207031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90001 ÷ 217
    90001 ÷ 131072     		y = 0.686653137207031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.434700012207031 × 2 - 1) × π
    -0.130599975585938 × 3.1415926535     		Λ = -0.41029192
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.686653137207031 × 2 - 1) × π
    -0.373306274414062 × 3.1415926535     		Φ = -1.17277624920467
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41029192} λ = -0.41029192}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17277624920467))-π/2
    2×atan(0.309506480271386)-π/2
    2×0.300155356577187-π/2
    0.600310713154375-1.57079632675     		φ = -0.97048561
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41029192} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.507995°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97048561 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.604730°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56977 KachelY 90001 -0.41029192 -0.97048561 -23.507995 -55.604730
    Oben rechts KachelX + 1 56978 KachelY 90001 -0.41024399 -0.97048561 -23.505249 -55.604730
    Unten links KachelX 56977 KachelY + 1 90002 -0.41029192 -0.97051269 -23.507995 -55.606281
    Unten rechts KachelX + 1 56978 KachelY + 1 90002 -0.41024399 -0.97051269 -23.505249 -55.606281
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97048561--0.97051269) × R
    2.70799999999571e-05 × 6371000     		dl = 172.526679999727m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97048561--0.97051269) × R
    2.70799999999571e-05 × 6371000     		dr = 172.526679999727m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41029192--0.41024399) × cos(-0.97048561) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.564898891771205 × 6371000     		do = 172.498672335911m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41029192--0.41024399) × cos(-0.97051269) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.564876546227728 × 6371000     		du = 172.491848855394m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97048561)-sin(-0.97051269))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.564898891771205-0.564876546227728)×R²
    abs(-0.41024399--0.41029192)×2.23455434770203e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.23455434770203e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.23455434770203e-05×40589641000000     		ar = 29760.0346280083m²