Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56968 / 89991
↖ ↑ ↗
← S 55.589212°
W 23.532715°		 ← 172.60 m → S 55.589212°
W 23.529968°		 →
↑
172.53 m
↓
↑
172.53 m
↓
S 55.590763°
W 23.532715°		 ← 172.60 m →
29 778 m²		 S 55.590763°
W 23.529968°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56968 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89991 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434635162353516 y=0.686580657958984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434635162353516 × 217)
    floor (0.434635162353516 × 131072)
    floor (56968.5)     		tx = 56968
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.686580657958984 × 217)
    floor (0.686580657958984 × 131072)
    floor (89991.5)     		ty = 89991
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56968 / 89991 ti = "17/56968/89991"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56968/89991.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56968 ÷ 217
    56968 ÷ 131072     		x = 0.43463134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89991 ÷ 217
    89991 ÷ 131072     		y = 0.686576843261719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43463134765625 × 2 - 1) × π
    -0.1307373046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.41072336
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.686576843261719 × 2 - 1) × π
    -0.373153686523438 × 3.1415926535     		Φ = -1.17229688020847
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41072336} λ = -0.41072336}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17229688020847))-π/2
    2×atan(0.309654883649299)-π/2
    2×0.300290780864355-π/2
    0.60058156172871-1.57079632675     		φ = -0.97021477
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41072336} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.532715°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97021477 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.589212°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56968 KachelY 89991 -0.41072336 -0.97021477 -23.532715 -55.589212
    Oben rechts KachelX + 1 56969 KachelY 89991 -0.41067542 -0.97021477 -23.529968 -55.589212
    Unten links KachelX 56968 KachelY + 1 89992 -0.41072336 -0.97024185 -23.532715 -55.590763
    Unten rechts KachelX + 1 56969 KachelY + 1 89992 -0.41067542 -0.97024185 -23.529968 -55.590763
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97021477--0.97024185) × R
    2.70799999999571e-05 × 6371000     		dl = 172.526679999727m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97021477--0.97024185) × R
    2.70799999999571e-05 × 6371000     		dr = 172.526679999727m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41072336--0.41067542) × cos(-0.97021477) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.565122357419516 × 6371000     		do = 172.602914205287m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41072336--0.41067542) × cos(-0.97024185) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.565100016019942 × 6371000     		du = 172.596090566789m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97021477)-sin(-0.97024185))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.565122357419516-0.565100016019942)×R²
    abs(-0.41067542--0.41072336)×2.2341399574799e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.2341399574799e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.2341399574799e-05×40589641000000     		ar = 29778.0191182124m²