Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56968 / 89990
↖ ↑ ↗
← S 55.587659°
W 23.532715°		 ← 172.61 m → S 55.587659°
W 23.529968°		 →
↑
172.65 m
↓
↑
172.65 m
↓
S 55.589212°
W 23.532715°		 ← 172.60 m →
29 801 m²		 S 55.589212°
W 23.529968°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56968 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89990 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434635162353516 y=0.686573028564453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434635162353516 × 217)
    floor (0.434635162353516 × 131072)
    floor (56968.5)     		tx = 56968
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.686573028564453 × 217)
    floor (0.686573028564453 × 131072)
    floor (89990.5)     		ty = 89990
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56968 / 89990 ti = "17/56968/89990"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56968/89990.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56968 ÷ 217
    56968 ÷ 131072     		x = 0.43463134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89990 ÷ 217
    89990 ÷ 131072     		y = 0.686569213867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43463134765625 × 2 - 1) × π
    -0.1307373046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.41072336
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.686569213867188 × 2 - 1) × π
    -0.373138427734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.17224894330885
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41072336} λ = -0.41072336}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17224894330885))-π/2
    2×atan(0.309669727900164)-π/2
    2×0.300304326239158-π/2
    0.600608652478316-1.57079632675     		φ = -0.97018767
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41072336} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.532715°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97018767 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.587659°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56968 KachelY 89990 -0.41072336 -0.97018767 -23.532715 -55.587659
    Oben rechts KachelX + 1 56969 KachelY 89990 -0.41067542 -0.97018767 -23.529968 -55.587659
    Unten links KachelX 56968 KachelY + 1 89991 -0.41072336 -0.97021477 -23.532715 -55.589212
    Unten rechts KachelX + 1 56969 KachelY + 1 89991 -0.41067542 -0.97021477 -23.529968 -55.589212
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97018767--0.97021477) × R
    2.71000000000576e-05 × 6371000     		dl = 172.654100000367m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97018767--0.97021477) × R
    2.71000000000576e-05 × 6371000     		dr = 172.654100000367m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41072336--0.41067542) × cos(-0.97018767) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.565144714904508 × 6371000     		do = 172.609742756685m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41072336--0.41067542) × cos(-0.97021477) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.565122357419516 × 6371000     		du = 172.602914205287m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97018767)-sin(-0.97021477))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.565144714904508-0.565122357419516)×R²
    abs(-0.41067542--0.41072336)×2.23574849915753e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.23574849915753e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.23574849915753e-05×40589641000000     		ar = 29801.1902999691m²