Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56963 / 89987
↖ ↑ ↗
← S 55.583002°
W 23.546448°		 ← 172.63 m → S 55.583002°
W 23.543701°		 →
↑
172.59 m
↓
↑
172.59 m
↓
S 55.584555°
W 23.546448°		 ← 172.62 m →
29 794 m²		 S 55.584555°
W 23.543701°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56963 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89987 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434597015380859 y=0.686550140380859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434597015380859 × 217)
    floor (0.434597015380859 × 131072)
    floor (56963.5)     		tx = 56963
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.686550140380859 × 217)
    floor (0.686550140380859 × 131072)
    floor (89987.5)     		ty = 89987
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56963 / 89987 ti = "17/56963/89987"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56963/89987.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56963 ÷ 217
    56963 ÷ 131072     		x = 0.434593200683594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89987 ÷ 217
    89987 ÷ 131072     		y = 0.686546325683594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.434593200683594 × 2 - 1) × π
    -0.130813598632812 × 3.1415926535     		Λ = -0.41096304
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.686546325683594 × 2 - 1) × π
    -0.373092651367188 × 3.1415926535     		Φ = -1.17210513260999
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41096304} λ = -0.41096304}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17210513260999))-π/2
    2×atan(0.309714264922522)-π/2
    2×0.300344965577792-π/2
    0.600689931155585-1.57079632675     		φ = -0.97010640
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41096304} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.546448°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97010640 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.583002°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56963 KachelY 89987 -0.41096304 -0.97010640 -23.546448 -55.583002
    Oben rechts KachelX + 1 56964 KachelY 89987 -0.41091510 -0.97010640 -23.543701 -55.583002
    Unten links KachelX 56963 KachelY + 1 89988 -0.41096304 -0.97013349 -23.546448 -55.584555
    Unten rechts KachelX + 1 56964 KachelY + 1 89988 -0.41091510 -0.97013349 -23.543701 -55.584555
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97010640--0.97013349) × R
    2.70900000000074e-05 × 6371000     		dl = 172.590390000047m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97010640--0.97013349) × R
    2.70900000000074e-05 × 6371000     		dr = 172.590390000047m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41096304--0.41091510) × cos(-0.97010640) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.565211760120754 × 6371000     		do = 172.63022009167m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41096304--0.41091510) × cos(-0.97013349) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.565189412130108 × 6371000     		du = 172.62339444009m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97010640)-sin(-0.97013349))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.565211760120754-0.565189412130108)×R²
    abs(-0.41091510--0.41096304)×2.23479906463764e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.23479906463764e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.23479906463764e-05×40589641000000     		ar = 29793.7279923544m²