Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 56960 / 87680
↖ ↑ ↗
← S 51.835778°
W 23.554687°		 ← 188.73 m → S 51.835778°
W 23.551941°		 →
↑
188.71 m
↓
↑
188.71 m
↓
S 51.837475°
W 23.554687°		 ← 188.72 m →
35 614 m²		 S 51.837475°
W 23.551941°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56960 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87680 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434574127197266 y=0.668949127197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434574127197266 × 217)
    floor (0.434574127197266 × 131072)
    floor (56960.5)     		tx = 56960
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.668949127197266 × 217)
    floor (0.668949127197266 × 131072)
    floor (87680.5)     		ty = 87680
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56960 / 87680 ti = "17/56960/87680"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56960/87680.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56960 ÷ 217
    56960 ÷ 131072     		x = 0.4345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87680 ÷ 217
    87680 ÷ 131072     		y = 0.6689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4345703125 × 2 - 1) × π
    -0.130859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.41110685
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6689453125 × 2 - 1) × π
    -0.337890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.06151470518652
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41110685} λ = -0.41110685}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.06151470518652))-π/2
    2×atan(0.345931429158948)-π/2
    2×0.333045669375243-π/2
    0.666091338750486-1.57079632675     		φ = -0.90470499
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41110685} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.554687°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90470499 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.835778°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56960 KachelY 87680 -0.41110685 -0.90470499 -23.554687 -51.835778
    Oben rechts KachelX + 1 56961 KachelY 87680 -0.41105891 -0.90470499 -23.551941 -51.835778
    Unten links KachelX 56960 KachelY + 1 87681 -0.41110685 -0.90473461 -23.554687 -51.837475
    Unten rechts KachelX + 1 56961 KachelY + 1 87681 -0.41105891 -0.90473461 -23.551941 -51.837475
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90470499--0.90473461) × R
    2.96199999999525e-05 × 6371000     		dl = 188.709019999697m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90470499--0.90473461) × R
    2.96199999999525e-05 × 6371000     		dr = 188.709019999697m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41110685--0.41105891) × cos(-0.90470499) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.617917556336133 × 6371000     		do = 188.72792690305m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41110685--0.41105891) × cos(-0.90473461) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.617894267550455 × 6371000     		du = 188.72081390845m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90470499)-sin(-0.90473461))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.617917556336133-0.617894267550455)×R²
    abs(-0.41105891--0.41110685)×2.32887856781439e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.32887856781439e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.32887856781439e-05×40589641000000     		ar = 35613.9909919268m²