Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56943 / 87559
↖ ↑ ↗
← S 51.629952°
W 23.601379°		 ← 189.59 m → S 51.629952°
W 23.598633°		 →
↑
189.60 m
↓
↑
189.60 m
↓
S 51.631657°
W 23.601379°		 ← 189.58 m →
35 946 m²		 S 51.631657°
W 23.598633°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56943 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87559 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434444427490234 y=0.668025970458984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434444427490234 × 217)
    floor (0.434444427490234 × 131072)
    floor (56943.5)     		tx = 56943
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.668025970458984 × 217)
    floor (0.668025970458984 × 131072)
    floor (87559.5)     		ty = 87559
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56943 / 87559 ti = "17/56943/87559"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56943/87559.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56943 ÷ 217
    56943 ÷ 131072     		x = 0.434440612792969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87559 ÷ 217
    87559 ÷ 131072     		y = 0.668022155761719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.434440612792969 × 2 - 1) × π
    -0.131118774414062 × 3.1415926535     		Λ = -0.41192178
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.668022155761719 × 2 - 1) × π
    -0.336044311523438 × 3.1415926535     		Φ = -1.0557143403325
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41192178} λ = -0.41192178}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.0557143403325))-π/2
    2×atan(0.347943788228936)-π/2
    2×0.334841831750222-π/2
    0.669683663500444-1.57079632675     		φ = -0.90111266
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41192178} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.601379°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90111266 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.629952°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56943 KachelY 87559 -0.41192178 -0.90111266 -23.601379 -51.629952
    Oben rechts KachelX + 1 56944 KachelY 87559 -0.41187384 -0.90111266 -23.598633 -51.629952
    Unten links KachelX 56943 KachelY + 1 87560 -0.41192178 -0.90114242 -23.601379 -51.631657
    Unten rechts KachelX + 1 56944 KachelY + 1 87560 -0.41187384 -0.90114242 -23.598633 -51.631657
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90111266--0.90114242) × R
    2.97599999999898e-05 × 6371000     		dl = 189.600959999935m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90111266--0.90114242) × R
    2.97599999999898e-05 × 6371000     		dr = 189.600959999935m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41192178--0.41187384) × cos(-0.90111266) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.620738007150889 × 6371000     		do = 189.589365180281m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41192178--0.41187384) × cos(-0.90114242) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.620714674498393 × 6371000     		du = 189.582238787626m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90111266)-sin(-0.90114242))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.620738007150889-0.620714674498393)×R²
    abs(-0.41187384--0.41192178)×2.33326524960997e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.33326524960997e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.33326524960997e-05×40589641000000     		ar = 35945.6500611327m²