Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56916 / 87561
↖ ↑ ↗
← S 51.633362°
W 23.675537°		 ← 189.54 m → S 51.633362°
W 23.672791°		 →
↑
189.60 m
↓
↑
189.60 m
↓
S 51.635067°
W 23.675537°		 ← 189.53 m →
35 935 m²		 S 51.635067°
W 23.672791°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56916 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87561 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434238433837891 y=0.668041229248047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434238433837891 × 217)
    floor (0.434238433837891 × 131072)
    floor (56916.5)     		tx = 56916
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.668041229248047 × 217)
    floor (0.668041229248047 × 131072)
    floor (87561.5)     		ty = 87561
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56916 / 87561 ti = "17/56916/87561"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56916/87561.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56916 ÷ 217
    56916 ÷ 131072     		x = 0.434234619140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87561 ÷ 217
    87561 ÷ 131072     		y = 0.668037414550781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.434234619140625 × 2 - 1) × π
    -0.13153076171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.41321607
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.668037414550781 × 2 - 1) × π
    -0.336074829101562 × 3.1415926535     		Φ = -1.05581021413174
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41321607} λ = -0.41321607}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.05581021413174))-π/2
    2×atan(0.347910431135098)-π/2
    2×0.334812076613137-π/2
    0.669624153226275-1.57079632675     		φ = -0.90117217
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41321607} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.675537°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90117217 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.633362°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56916 KachelY 87561 -0.41321607 -0.90117217 -23.675537 -51.633362
    Oben rechts KachelX + 1 56917 KachelY 87561 -0.41316814 -0.90117217 -23.672791 -51.633362
    Unten links KachelX 56916 KachelY + 1 87562 -0.41321607 -0.90120193 -23.675537 -51.635067
    Unten rechts KachelX + 1 56917 KachelY + 1 87562 -0.41316814 -0.90120193 -23.672791 -51.635067
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90117217--0.90120193) × R
    2.97599999999898e-05 × 6371000     		dl = 189.600959999935m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90117217--0.90120193) × R
    2.97599999999898e-05 × 6371000     		dr = 189.600959999935m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41321607--0.41316814) × cos(-0.90117217) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.620691349136707 × 6371000     		do = 189.53557037572m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41321607--0.41316814) × cos(-0.90120193) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.620668015384935 × 6371000     		du = 189.528445133911m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90117217)-sin(-0.90120193))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.620691349136707-0.620668015384935)×R²
    abs(-0.41316814--0.41321607)×2.33337517719923e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.33337517719923e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.33337517719923e-05×40589641000000     		ar = 35935.4506237149m²