Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56900 / 87577
↖ ↑ ↗
← S 51.660630°
W 23.719483°		 ← 189.46 m → S 51.660630°
W 23.716736°		 →
↑
189.47 m
↓
↑
189.47 m
↓
S 51.662334°
W 23.719483°		 ← 189.45 m →
35 897 m²		 S 51.662334°
W 23.716736°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56900 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87577 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434116363525391 y=0.668163299560547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434116363525391 × 217)
    floor (0.434116363525391 × 131072)
    floor (56900.5)     		tx = 56900
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.668163299560547 × 217)
    floor (0.668163299560547 × 131072)
    floor (87577.5)     		ty = 87577
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56900 / 87577 ti = "17/56900/87577"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56900/87577.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56900 ÷ 217
    56900 ÷ 131072     		x = 0.434112548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87577 ÷ 217
    87577 ÷ 131072     		y = 0.668159484863281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.434112548828125 × 2 - 1) × π
    -0.13177490234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.41398307
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.668159484863281 × 2 - 1) × π
    -0.336318969726562 × 3.1415926535     		Φ = -1.05657720452566
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41398307} λ = -0.41398307}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.05657720452566))-π/2
    2×atan(0.347643689483691)-π/2
    2×0.334574116029484-π/2
    0.669148232058969-1.57079632675     		φ = -0.90164809
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41398307} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.719483°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90164809 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.660630°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56900 KachelY 87577 -0.41398307 -0.90164809 -23.719483 -51.660630
    Oben rechts KachelX + 1 56901 KachelY 87577 -0.41393513 -0.90164809 -23.716736 -51.660630
    Unten links KachelX 56900 KachelY + 1 87578 -0.41398307 -0.90167783 -23.719483 -51.662334
    Unten rechts KachelX + 1 56901 KachelY + 1 87578 -0.41393513 -0.90167783 -23.716736 -51.662334
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90164809--0.90167783) × R
    2.97400000000003e-05 × 6371000     		dl = 189.473540000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90164809--0.90167783) × R
    2.97400000000003e-05 × 6371000     		dr = 189.473540000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41398307--0.41393513) × cos(-0.90164809) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.620318131400101 × 6371000     		do = 189.461124318388m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41398307--0.41393513) × cos(-0.90167783) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.620294804547425 × 6371000     		du = 189.453999697148m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90164809)-sin(-0.90167783))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.620318131400101-0.620294804547425)×R²
    abs(-0.41393513--0.41398307)×2.3326852675476e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.3326852675476e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.3326852675476e-05×40589641000000     		ar = 35897.1949560261m²