Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 56895 / 88015
↖ ↑ ↗
← S 52.400743°
W 23.733215°		 ← 186.35 m → S 52.400743°
W 23.730469°		 →
↑
186.35 m
↓
↑
186.35 m
↓
S 52.402419°
W 23.733215°		 ← 186.34 m →
34 726 m²		 S 52.402419°
W 23.730469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56895 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88015 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434078216552734 y=0.671504974365234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434078216552734 × 217)
    floor (0.434078216552734 × 131072)
    floor (56895.5)     		tx = 56895
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.671504974365234 × 217)
    floor (0.671504974365234 × 131072)
    floor (88015.5)     		ty = 88015
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56895 / 88015 ti = "17/56895/88015"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56895/88015.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56895 ÷ 217
    56895 ÷ 131072     		x = 0.434074401855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88015 ÷ 217
    88015 ÷ 131072     		y = 0.671501159667969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.434074401855469 × 2 - 1) × π
    -0.131851196289062 × 3.1415926535     		Λ = -0.41422275
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.671501159667969 × 2 - 1) × π
    -0.343002319335938 × 3.1415926535     		Φ = -1.07757356655924
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41422275} λ = -0.41422275}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.07757356655924))-π/2
    2×atan(0.340420532091537)-π/2
    2×0.328115414436546-π/2
    0.656230828873093-1.57079632675     		φ = -0.91456550
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41422275} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.733215°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91456550 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.400743°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56895 KachelY 88015 -0.41422275 -0.91456550 -23.733215 -52.400743
    Oben rechts KachelX + 1 56896 KachelY 88015 -0.41417481 -0.91456550 -23.730469 -52.400743
    Unten links KachelX 56895 KachelY + 1 88016 -0.41422275 -0.91459475 -23.733215 -52.402419
    Unten rechts KachelX + 1 56896 KachelY + 1 88016 -0.41417481 -0.91459475 -23.730469 -52.402419
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91456550--0.91459475) × R
    2.92499999999807e-05 × 6371000     		dl = 186.351749999877m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91456550--0.91459475) × R
    2.92499999999807e-05 × 6371000     		dr = 186.351749999877m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41422275--0.41417481) × cos(-0.91456550) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.610134886304355 × 6371000     		do = 186.350899149201m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41422275--0.41417481) × cos(-0.91459475) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.610111711339781 × 6371000     		du = 186.343820918497m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91456550)-sin(-0.91459475))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.610134886304355-0.610111711339781)×R²
    abs(-0.41417481--0.41422275)×2.31749645742685e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.31749645742685e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.31749645742685e-05×40589641000000     		ar = 34726.1566526356m²