Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 56895 / 87607
↖ ↑ ↗
← S 51.711715°
W 23.733215°		 ← 189.25 m → S 51.711715°
W 23.730469°		 →
↑
189.22 m
↓
↑
189.22 m
↓
S 51.713416°
W 23.733215°		 ← 189.24 m →
35 808 m²		 S 51.713416°
W 23.730469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56895 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87607 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434078216552734 y=0.668392181396484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434078216552734 × 217)
    floor (0.434078216552734 × 131072)
    floor (56895.5)     		tx = 56895
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.668392181396484 × 217)
    floor (0.668392181396484 × 131072)
    floor (87607.5)     		ty = 87607
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56895 / 87607 ti = "17/56895/87607"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56895/87607.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56895 ÷ 217
    56895 ÷ 131072     		x = 0.434074401855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87607 ÷ 217
    87607 ÷ 131072     		y = 0.668388366699219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.434074401855469 × 2 - 1) × π
    -0.131851196289062 × 3.1415926535     		Λ = -0.41422275
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.668388366699219 × 2 - 1) × π
    -0.336776733398438 × 3.1415926535     		Φ = -1.05801531151426
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41422275} λ = -0.41422275}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.05801531151426))-π/2
    2×atan(0.347144099981981)-π/2
    2×0.33412832563982-π/2
    0.668256651279641-1.57079632675     		φ = -0.90253968
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41422275} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.733215°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90253968 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.711715°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56895 KachelY 87607 -0.41422275 -0.90253968 -23.733215 -51.711715
    Oben rechts KachelX + 1 56896 KachelY 87607 -0.41417481 -0.90253968 -23.730469 -51.711715
    Unten links KachelX 56895 KachelY + 1 87608 -0.41422275 -0.90256938 -23.733215 -51.713416
    Unten rechts KachelX + 1 56896 KachelY + 1 87608 -0.41417481 -0.90256938 -23.730469 -51.713416
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90253968--0.90256938) × R
    2.97000000000214e-05 × 6371000     		dl = 189.218700000136m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90253968--0.90256938) × R
    2.97000000000214e-05 × 6371000     		dr = 189.218700000136m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41422275--0.41417481) × cos(-0.90253968) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.619618566040272 × 6371000     		do = 189.247459050465m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41422275--0.41417481) × cos(-0.90256938) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.619595254145754 × 6371000     		du = 189.240338997831m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90253968)-sin(-0.90256938))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.619618566040272-0.619595254145754)×R²
    abs(-0.41417481--0.41422275)×2.33118945180966e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.33118945180966e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.33118945180966e-05×40589641000000     		ar = 35808.4845588691m²