Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56895 / 87579
↖ ↑ ↗
← S 51.664038°
W 23.733215°		 ← 189.45 m → S 51.664038°
W 23.730469°		 →
↑
189.47 m
↓
↑
189.47 m
↓
S 51.665742°
W 23.733215°		 ← 189.44 m →
35 894 m²		 S 51.665742°
W 23.730469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56895 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87579 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434078216552734 y=0.668178558349609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434078216552734 × 217)
    floor (0.434078216552734 × 131072)
    floor (56895.5)     		tx = 56895
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.668178558349609 × 217)
    floor (0.668178558349609 × 131072)
    floor (87579.5)     		ty = 87579
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56895 / 87579 ti = "17/56895/87579"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56895/87579.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56895 ÷ 217
    56895 ÷ 131072     		x = 0.434074401855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87579 ÷ 217
    87579 ÷ 131072     		y = 0.668174743652344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.434074401855469 × 2 - 1) × π
    -0.131851196289062 × 3.1415926535     		Λ = -0.41422275
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.668174743652344 × 2 - 1) × π
    -0.336349487304688 × 3.1415926535     		Φ = -1.0566730783249
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41422275} λ = -0.41422275}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.0566730783249))-π/2
    2×atan(0.347610361160081)-π/2
    2×0.334544381019713-π/2
    0.669088762039426-1.57079632675     		φ = -0.90170756
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41422275} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.733215°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90170756 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.664038°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56895 KachelY 87579 -0.41422275 -0.90170756 -23.733215 -51.664038
    Oben rechts KachelX + 1 56896 KachelY 87579 -0.41417481 -0.90170756 -23.730469 -51.664038
    Unten links KachelX 56895 KachelY + 1 87580 -0.41422275 -0.90173730 -23.733215 -51.665742
    Unten rechts KachelX + 1 56896 KachelY + 1 87580 -0.41417481 -0.90173730 -23.730469 -51.665742
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90170756--0.90173730) × R
    2.97400000000003e-05 × 6371000     		dl = 189.473540000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90170756--0.90173730) × R
    2.97400000000003e-05 × 6371000     		dr = 189.473540000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41422275--0.41417481) × cos(-0.90170756) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.620271484989992 × 6371000     		do = 189.446877303843m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41422275--0.41417481) × cos(-0.90173730) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.62024815704026 × 6371000     		du = 189.439752347533m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90170756)-sin(-0.90173730))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.620271484989992-0.62024815704026)×R²
    abs(-0.41417481--0.41422275)×2.33279497316996e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.33279497316996e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.33279497316996e-05×40589641000000     		ar = 35894.4954920748m²