Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56881 / 87545
↖ ↑ ↗
← S 51.606078°
W 23.771668°		 ← 189.69 m → S 51.606078°
W 23.768921°		 →
↑
189.66 m
↓
↑
189.66 m
↓
S 51.607783°
W 23.771668°		 ← 189.68 m →
35 977 m²		 S 51.607783°
W 23.768921°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56881 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87545 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.433971405029297 y=0.667919158935547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.433971405029297 × 217)
    floor (0.433971405029297 × 131072)
    floor (56881.5)     		tx = 56881
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.667919158935547 × 217)
    floor (0.667919158935547 × 131072)
    floor (87545.5)     		ty = 87545
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56881 / 87545 ti = "17/56881/87545"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56881/87545.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56881 ÷ 217
    56881 ÷ 131072     		x = 0.433967590332031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87545 ÷ 217
    87545 ÷ 131072     		y = 0.667915344238281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.433967590332031 × 2 - 1) × π
    -0.132064819335938 × 3.1415926535     		Λ = -0.41489387
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.667915344238281 × 2 - 1) × π
    -0.335830688476562 × 3.1415926535     		Φ = -1.05504322373782
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41489387} λ = -0.41489387}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.05504322373782))-π/2
    2×atan(0.348177377453268)-π/2
    2×0.335050180340427-π/2
    0.670100360680855-1.57079632675     		φ = -0.90069597
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41489387} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.771668°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90069597 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.606078°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56881 KachelY 87545 -0.41489387 -0.90069597 -23.771668 -51.606078
    Oben rechts KachelX + 1 56882 KachelY 87545 -0.41484593 -0.90069597 -23.768921 -51.606078
    Unten links KachelX 56881 KachelY + 1 87546 -0.41489387 -0.90072574 -23.771668 -51.607783
    Unten rechts KachelX + 1 56882 KachelY + 1 87546 -0.41484593 -0.90072574 -23.768921 -51.607783
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90069597--0.90072574) × R
    2.977000000004e-05 × 6371000     		dl = 189.664670000255m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90069597--0.90072574) × R
    2.977000000004e-05 × 6371000     		dr = 189.664670000255m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41489387--0.41484593) × cos(-0.90069597) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.62106464573946 × 6371000     		do = 189.689129012908m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41489387--0.41484593) × cos(-0.90072574) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.621041312948649 × 6371000     		du = 189.682002578008m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90069597)-sin(-0.90072574))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.62106464573946-0.621041312948649)×R²
    abs(-0.41484593--0.41489387)×2.33327908113479e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.33327908113479e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.33327908113479e-05×40589641000000     		ar = 35976.6502430481m²