Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56877 / 87611
↖ ↑ ↗
← S 51.718521°
W 23.782654°		 ← 189.18 m → S 51.718521°
W 23.779907°		 →
↑
189.15 m
↓
↑
189.15 m
↓
S 51.720222°
W 23.782654°		 ← 189.17 m →
35 784 m²		 S 51.720222°
W 23.779907°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56877 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87611 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.433940887451172 y=0.668422698974609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.433940887451172 × 217)
    floor (0.433940887451172 × 131072)
    floor (56877.5)     		tx = 56877
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.668422698974609 × 217)
    floor (0.668422698974609 × 131072)
    floor (87611.5)     		ty = 87611
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56877 / 87611 ti = "17/56877/87611"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56877/87611.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56877 ÷ 217
    56877 ÷ 131072     		x = 0.433937072753906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87611 ÷ 217
    87611 ÷ 131072     		y = 0.668418884277344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.433937072753906 × 2 - 1) × π
    -0.132125854492188 × 3.1415926535     		Λ = -0.41508561
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.668418884277344 × 2 - 1) × π
    -0.336837768554688 × 3.1415926535     		Φ = -1.05820705911274
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41508561} λ = -0.41508561}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.05820705911274))-π/2
    2×atan(0.347077542315823)-π/2
    2×0.33406892492373-π/2
    0.66813784984746-1.57079632675     		φ = -0.90265848
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41508561} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.782654°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90265848 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.718521°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56877 KachelY 87611 -0.41508561 -0.90265848 -23.782654 -51.718521
    Oben rechts KachelX + 1 56878 KachelY 87611 -0.41503768 -0.90265848 -23.779907 -51.718521
    Unten links KachelX 56877 KachelY + 1 87612 -0.41508561 -0.90268817 -23.782654 -51.720222
    Unten rechts KachelX + 1 56878 KachelY + 1 87612 -0.41503768 -0.90268817 -23.779907 -51.720222
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90265848--0.90268817) × R
    2.96899999999711e-05 × 6371000     		dl = 189.154989999816m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90265848--0.90268817) × R
    2.96899999999711e-05 × 6371000     		dr = 189.154989999816m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41508561--0.41503768) × cos(-0.90265848) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.619525315183049 × 6371000     		do = 189.179507880582m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41508561--0.41503768) × cos(-0.90268817) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.61950200895245 × 6371000     		du = 189.172391042695m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90265848)-sin(-0.90268817))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.619525315183049-0.61950200895245)×R²
    abs(-0.41503768--0.41508561)×2.33062305990961e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.33062305990961e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.33062305990961e-05×40589641000000     		ar = 35783.5748312878m²