Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 56866 / 87522
↖ ↑ ↗
← S 51.566827°
W 23.812866°		 ← 189.85 m → S 51.566827°
W 23.810119°		 →
↑
189.79 m
↓
↑
189.79 m
↓
S 51.568534°
W 23.812866°		 ← 189.85 m →
36 032 m²		 S 51.568534°
W 23.810119°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56866 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87522 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.433856964111328 y=0.667743682861328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.433856964111328 × 217)
    floor (0.433856964111328 × 131072)
    floor (56866.5)     		tx = 56866
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.667743682861328 × 217)
    floor (0.667743682861328 × 131072)
    floor (87522.5)     		ty = 87522
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56866 / 87522 ti = "17/56866/87522"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56866/87522.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56866 ÷ 217
    56866 ÷ 131072     		x = 0.433853149414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87522 ÷ 217
    87522 ÷ 131072     		y = 0.667739868164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.433853149414062 × 2 - 1) × π
    -0.132293701171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.41561292
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.667739868164062 × 2 - 1) × π
    -0.335479736328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.05394067504655
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41561292} λ = -0.41561292}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.05394067504655))-π/2
    2×atan(0.348561471667483)-π/2
    2×0.335392705293722-π/2
    0.670785410587445-1.57079632675     		φ = -0.90001092
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41561292} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.812866°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90001092 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.566827°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56866 KachelY 87522 -0.41561292 -0.90001092 -23.812866 -51.566827
    Oben rechts KachelX + 1 56867 KachelY 87522 -0.41556498 -0.90001092 -23.810119 -51.566827
    Unten links KachelX 56866 KachelY + 1 87523 -0.41561292 -0.90004071 -23.812866 -51.568534
    Unten rechts KachelX + 1 56867 KachelY + 1 87523 -0.41556498 -0.90004071 -23.810119 -51.568534
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90001092--0.90004071) × R
    2.97899999999185e-05 × 6371000     		dl = 189.792089999481m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90001092--0.90004071) × R
    2.97899999999185e-05 × 6371000     		dr = 189.792089999481m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41561292--0.41556498) × cos(-0.90001092) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.621601414303749 × 6371000     		do = 189.853071948864m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41561292--0.41556498) × cos(-0.90004071) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.621578078517084 × 6371000     		du = 189.845944598954m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90001092)-sin(-0.90004071))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.621601414303749-0.621578078517084)×R²
    abs(-0.41556498--0.41561292)×2.33357866650241e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.33357866650241e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.33357866650241e-05×40589641000000     		ar = 36031.9349634681m²