Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56860 / 88410
↖ ↑ ↗
← S 53.057724°
W 23.829346°		 ← 183.56 m → S 53.057724°
W 23.826599°		 →
↑
183.55 m
↓
↑
183.55 m
↓
S 53.059374°
W 23.829346°		 ← 183.56 m →
33 692 m²		 S 53.059374°
W 23.826599°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56860 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88410 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.433811187744141 y=0.674518585205078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.433811187744141 × 217)
    floor (0.433811187744141 × 131072)
    floor (56860.5)     		tx = 56860
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.674518585205078 × 217)
    floor (0.674518585205078 × 131072)
    floor (88410.5)     		ty = 88410
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56860 / 88410 ti = "17/56860/88410"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56860/88410.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56860 ÷ 217
    56860 ÷ 131072     		x = 0.433807373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88410 ÷ 217
    88410 ÷ 131072     		y = 0.674514770507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.433807373046875 × 2 - 1) × π
    -0.13238525390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.41590054
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.674514770507812 × 2 - 1) × π
    -0.349029541015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.09650864190916
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41590054} λ = -0.41590054}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.09650864190916))-π/2
    2×atan(0.334035286992053)-π/2
    2×0.322382179593991-π/2
    0.644764359187982-1.57079632675     		φ = -0.92603197
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41590054} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.829346°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92603197 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.057724°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56860 KachelY 88410 -0.41590054 -0.92603197 -23.829346 -53.057724
    Oben rechts KachelX + 1 56861 KachelY 88410 -0.41585260 -0.92603197 -23.826599 -53.057724
    Unten links KachelX 56860 KachelY + 1 88411 -0.41590054 -0.92606078 -23.829346 -53.059374
    Unten rechts KachelX + 1 56861 KachelY + 1 88411 -0.41585260 -0.92606078 -23.826599 -53.059374
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92603197--0.92606078) × R
    2.88099999999902e-05 × 6371000     		dl = 183.548509999938m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92603197--0.92606078) × R
    2.88099999999902e-05 × 6371000     		dr = 183.548509999938m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41590054--0.41585260) × cos(-0.92603197) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.601010119393915 × 6371000     		do = 183.563960463254m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41590054--0.41585260) × cos(-0.92606078) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.600987092999383 × 6371000     		du = 183.556927609665m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92603197)-sin(-0.92606078))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.601010119393915-0.600987092999383)×R²
    abs(-0.41585260--0.41590054)×2.30263945317777e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.30263945317777e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.30263945317777e-05×40589641000000     		ar = 33692.2460002887m²