Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56860 / 87564
↖ ↑ ↗
← S 51.638476°
W 23.829346°		 ← 189.55 m → S 51.638476°
W 23.826599°		 →
↑
189.54 m
↓
↑
189.54 m
↓
S 51.640181°
W 23.829346°		 ← 189.55 m →
35 927 m²		 S 51.640181°
W 23.826599°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56860 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87564 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.433811187744141 y=0.668064117431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.433811187744141 × 217)
    floor (0.433811187744141 × 131072)
    floor (56860.5)     		tx = 56860
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.668064117431641 × 217)
    floor (0.668064117431641 × 131072)
    floor (87564.5)     		ty = 87564
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56860 / 87564 ti = "17/56860/87564"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56860/87564.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56860 ÷ 217
    56860 ÷ 131072     		x = 0.433807373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87564 ÷ 217
    87564 ÷ 131072     		y = 0.668060302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.433807373046875 × 2 - 1) × π
    -0.13238525390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.41590054
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.668060302734375 × 2 - 1) × π
    -0.33612060546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.0559540248306
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41590054} λ = -0.41590054}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.0559540248306))-π/2
    2×atan(0.347860401490341)-π/2
    2×0.334767448101152-π/2
    0.669534896202304-1.57079632675     		φ = -0.90126143
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41590054} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.829346°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90126143 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.638476°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56860 KachelY 87564 -0.41590054 -0.90126143 -23.829346 -51.638476
    Oben rechts KachelX + 1 56861 KachelY 87564 -0.41585260 -0.90126143 -23.826599 -51.638476
    Unten links KachelX 56860 KachelY + 1 87565 -0.41590054 -0.90129118 -23.829346 -51.640181
    Unten rechts KachelX + 1 56861 KachelY + 1 87565 -0.41585260 -0.90129118 -23.826599 -51.640181
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90126143--0.90129118) × R
    2.97499999999395e-05 × 6371000     		dl = 189.537249999615m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90126143--0.90129118) × R
    2.97499999999395e-05 × 6371000     		dr = 189.537249999615m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41590054--0.41585260) × cos(-0.90126143) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.620621361914522 × 6371000     		do = 189.553738722426m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41590054--0.41585260) × cos(-0.90129118) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.620598034355372 × 6371000     		du = 189.546613885411m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90126143)-sin(-0.90129118))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.620621361914522-0.620598034355372)×R²
    abs(-0.41585260--0.41590054)×2.33275591499105e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.33275591499105e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.33275591499105e-05×40589641000000     		ar = 35926.8191564354m²