Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56856 / 87546
↖ ↑ ↗
← S 51.607783°
W 23.840332°		 ← 189.68 m → S 51.607783°
W 23.837585°		 →
↑
189.66 m
↓
↑
189.66 m
↓
S 51.609489°
W 23.840332°		 ← 189.67 m →
35 975 m²		 S 51.609489°
W 23.837585°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56856 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87546 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.433780670166016 y=0.667926788330078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.433780670166016 × 217)
    floor (0.433780670166016 × 131072)
    floor (56856.5)     		tx = 56856
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.667926788330078 × 217)
    floor (0.667926788330078 × 131072)
    floor (87546.5)     		ty = 87546
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56856 / 87546 ti = "17/56856/87546"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56856/87546.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56856 ÷ 217
    56856 ÷ 131072     		x = 0.43377685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87546 ÷ 217
    87546 ÷ 131072     		y = 0.667922973632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43377685546875 × 2 - 1) × π
    -0.1324462890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.41609229
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.667922973632812 × 2 - 1) × π
    -0.335845947265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.05509116063744
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41609229} λ = -0.41609229}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.05509116063744))-π/2
    2×atan(0.348160687309315)-π/2
    2×0.335035294663203-π/2
    0.670070589326406-1.57079632675     		φ = -0.90072574
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41609229} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.840332°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90072574 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.607783°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56856 KachelY 87546 -0.41609229 -0.90072574 -23.840332 -51.607783
    Oben rechts KachelX + 1 56857 KachelY 87546 -0.41604435 -0.90072574 -23.837585 -51.607783
    Unten links KachelX 56856 KachelY + 1 87547 -0.41609229 -0.90075551 -23.840332 -51.609489
    Unten rechts KachelX + 1 56857 KachelY + 1 87547 -0.41604435 -0.90075551 -23.837585 -51.609489
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90072574--0.90075551) × R
    2.9769999999929e-05 × 6371000     		dl = 189.664669999548m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90072574--0.90075551) × R
    2.9769999999929e-05 × 6371000     		dr = 189.664669999548m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41609229--0.41604435) × cos(-0.90072574) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.621041312948649 × 6371000     		do = 189.682002577788m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41609229--0.41604435) × cos(-0.90075551) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.621017979607438 × 6371000     		du = 189.674875974782m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90072574)-sin(-0.90075551))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.621041312948649-0.621017979607438)×R²
    abs(-0.41604435--0.41609229)×2.33333412107406e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.33333412107406e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.33333412107406e-05×40589641000000     		ar = 35975.2985939598m²