Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56855 / 87548
↖ ↑ ↗
← S 51.611195°
W 23.843079°		 ← 189.67 m → S 51.611195°
W 23.840332°		 →
↑
189.60 m
↓
↑
189.60 m
↓
S 51.612900°
W 23.843079°		 ← 189.66 m →
35 961 m²		 S 51.612900°
W 23.840332°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56855 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87548 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.433773040771484 y=0.667942047119141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.433773040771484 × 217)
    floor (0.433773040771484 × 131072)
    floor (56855.5)     		tx = 56855
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.667942047119141 × 217)
    floor (0.667942047119141 × 131072)
    floor (87548.5)     		ty = 87548
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56855 / 87548 ti = "17/56855/87548"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56855/87548.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56855 ÷ 217
    56855 ÷ 131072     		x = 0.433769226074219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87548 ÷ 217
    87548 ÷ 131072     		y = 0.667938232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.433769226074219 × 2 - 1) × π
    -0.132461547851562 × 3.1415926535     		Λ = -0.41614023
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.667938232421875 × 2 - 1) × π
    -0.33587646484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.05518703443668
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41614023} λ = -0.41614023}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.05518703443668))-π/2
    2×atan(0.348127309421535)-π/2
    2×0.335005524986563-π/2
    0.670011049973127-1.57079632675     		φ = -0.90078528
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41614023} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.843079°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90078528 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.611195°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56855 KachelY 87548 -0.41614023 -0.90078528 -23.843079 -51.611195
    Oben rechts KachelX + 1 56856 KachelY 87548 -0.41609229 -0.90078528 -23.840332 -51.611195
    Unten links KachelX 56855 KachelY + 1 87549 -0.41614023 -0.90081504 -23.843079 -51.612900
    Unten rechts KachelX + 1 56856 KachelY + 1 87549 -0.41609229 -0.90081504 -23.840332 -51.612900
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90078528--0.90081504) × R
    2.97599999999898e-05 × 6371000     		dl = 189.600959999935m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90078528--0.90081504) × R
    2.97599999999898e-05 × 6371000     		dr = 189.600959999935m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41614023--0.41609229) × cos(-0.90078528) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.620994645715848 × 6371000     		do = 189.667749203896m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41614023--0.41609229) × cos(-0.90081504) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.620971319112233 × 6371000     		du = 189.660624658725m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90078528)-sin(-0.90081504))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.620994645715848-0.620971319112233)×R²
    abs(-0.41609229--0.41614023)×2.33266036153701e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.33266036153701e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.33266036153701e-05×40589641000000     		ar = 35960.5119224618m²