Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 56848 / 87576
↖ ↑ ↗
← S 51.658927°
W 23.862304°		 ← 189.43 m → S 51.658927°
W 23.859558°		 →
↑
189.41 m
↓
↑
189.41 m
↓
S 51.660630°
W 23.862304°		 ← 189.42 m →
35 879 m²		 S 51.660630°
W 23.859558°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56848 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87576 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.433719635009766 y=0.668155670166016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.433719635009766 × 217)
    floor (0.433719635009766 × 131072)
    floor (56848.5)     		tx = 56848
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.668155670166016 × 217)
    floor (0.668155670166016 × 131072)
    floor (87576.5)     		ty = 87576
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56848 / 87576 ti = "17/56848/87576"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56848/87576.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56848 ÷ 217
    56848 ÷ 131072     		x = 0.4337158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87576 ÷ 217
    87576 ÷ 131072     		y = 0.66815185546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4337158203125 × 2 - 1) × π
    -0.132568359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.41647578
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66815185546875 × 2 - 1) × π
    -0.3363037109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.05652926762604
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41647578} λ = -0.41647578}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.05652926762604))-π/2
    2×atan(0.347660354843777)-π/2
    2×0.33458898437291-π/2
    0.66917796874582-1.57079632675     		φ = -0.90161836
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41647578} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.862304°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90161836 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.658927°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56848 KachelY 87576 -0.41647578 -0.90161836 -23.862304 -51.658927
    Oben rechts KachelX + 1 56849 KachelY 87576 -0.41642785 -0.90161836 -23.859558 -51.658927
    Unten links KachelX 56848 KachelY + 1 87577 -0.41647578 -0.90164809 -23.862304 -51.660630
    Unten rechts KachelX + 1 56849 KachelY + 1 87577 -0.41642785 -0.90164809 -23.859558 -51.660630
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90161836--0.90164809) × R
    2.97300000000611e-05 × 6371000     		dl = 189.409830000389m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90161836--0.90164809) × R
    2.97300000000611e-05 × 6371000     		dr = 189.409830000389m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41647578--0.41642785) × cos(-0.90161836) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.620341449860806 × 6371000     		do = 189.428724422755m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41647578--0.41642785) × cos(-0.90164809) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.620318131400101 × 6371000     		du = 189.421603850257m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90161836)-sin(-0.90164809))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.620341449860806-0.620318131400101)×R²
    abs(-0.41642785--0.41647578)×2.33184607054682e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.33184607054682e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.33184607054682e-05×40589641000000     		ar = 35878.988139564m²