Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56837 / 87606
↖ ↑ ↗
← S 51.710012°
W 23.892517°		 ← 189.25 m → S 51.710012°
W 23.889770°		 →
↑
189.28 m
↓
↑
189.28 m
↓
S 51.711715°
W 23.892517°		 ← 189.25 m →
35 822 m²		 S 51.711715°
W 23.889770°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56837 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87606 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.433635711669922 y=0.668384552001953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.433635711669922 × 217)
    floor (0.433635711669922 × 131072)
    floor (56837.5)     		tx = 56837
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.668384552001953 × 217)
    floor (0.668384552001953 × 131072)
    floor (87606.5)     		ty = 87606
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56837 / 87606 ti = "17/56837/87606"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56837/87606.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56837 ÷ 217
    56837 ÷ 131072     		x = 0.433631896972656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87606 ÷ 217
    87606 ÷ 131072     		y = 0.668380737304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.433631896972656 × 2 - 1) × π
    -0.132736206054688 × 3.1415926535     		Λ = -0.41700309
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.668380737304688 × 2 - 1) × π
    -0.336761474609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.05796737461464
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41700309} λ = -0.41700309}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.05796737461464))-π/2
    2×atan(0.347160741392721)-π/2
    2×0.334143177215804-π/2
    0.668286354431607-1.57079632675     		φ = -0.90250997
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41700309} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.892517°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90250997 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.710012°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56837 KachelY 87606 -0.41700309 -0.90250997 -23.892517 -51.710012
    Oben rechts KachelX + 1 56838 KachelY 87606 -0.41695515 -0.90250997 -23.889770 -51.710012
    Unten links KachelX 56837 KachelY + 1 87607 -0.41700309 -0.90253968 -23.892517 -51.711715
    Unten rechts KachelX + 1 56838 KachelY + 1 87607 -0.41695515 -0.90253968 -23.889770 -51.711715
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90250997--0.90253968) × R
    2.97099999999606e-05 × 6371000     		dl = 189.282409999749m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90250997--0.90253968) × R
    2.97099999999606e-05 × 6371000     		dr = 189.282409999749m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41700309--0.41695515) × cos(-0.90250997) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.619641885237077 × 6371000     		do = 189.254581333624m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41700309--0.41695515) × cos(-0.90253968) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.619618566040272 × 6371000     		du = 189.247459050684m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90250997)-sin(-0.90253968))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.619641885237077-0.619618566040272)×R²
    abs(-0.41695515--0.41700309)×2.33191968054269e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.33191968054269e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.33191968054269e-05×40589641000000     		ar = 35821.8891995826m²