Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56835 / 87807
↖ ↑ ↗
← S 52.050801°
W 23.898010°		 ← 187.79 m → S 52.050801°
W 23.895264°		 →
↑
187.82 m
↓
↑
187.82 m
↓
S 52.052490°
W 23.898010°		 ← 187.78 m →
35 269 m²		 S 52.052490°
W 23.895264°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56835 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87807 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.433620452880859 y=0.669918060302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.433620452880859 × 217)
    floor (0.433620452880859 × 131072)
    floor (56835.5)     		tx = 56835
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.669918060302734 × 217)
    floor (0.669918060302734 × 131072)
    floor (87807.5)     		ty = 87807
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56835 / 87807 ti = "17/56835/87807"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56835/87807.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56835 ÷ 217
    56835 ÷ 131072     		x = 0.433616638183594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87807 ÷ 217
    87807 ÷ 131072     		y = 0.669914245605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.433616638183594 × 2 - 1) × π
    -0.132766723632812 × 3.1415926535     		Λ = -0.41709896
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.669914245605469 × 2 - 1) × π
    -0.339828491210938 × 3.1415926535     		Φ = -1.06760269143827
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41709896} λ = -0.41709896}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.06760269143827))-π/2
    2×atan(0.343831801112494)-π/2
    2×0.331169231492452-π/2
    0.662338462984904-1.57079632675     		φ = -0.90845786
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41709896} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.898010°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90845786 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.050801°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56835 KachelY 87807 -0.41709896 -0.90845786 -23.898010 -52.050801
    Oben rechts KachelX + 1 56836 KachelY 87807 -0.41705103 -0.90845786 -23.895264 -52.050801
    Unten links KachelX 56835 KachelY + 1 87808 -0.41709896 -0.90848734 -23.898010 -52.052490
    Unten rechts KachelX + 1 56836 KachelY + 1 87808 -0.41705103 -0.90848734 -23.895264 -52.052490
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90845786--0.90848734) × R
    2.94800000000262e-05 × 6371000     		dl = 187.817080000167m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90845786--0.90848734) × R
    2.94800000000262e-05 × 6371000     		dr = 187.817080000167m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41709896--0.41705103) × cos(-0.90845786) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.614962544499721 × 6371000     		do = 187.786210962515m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41709896--0.41705103) × cos(-0.90848734) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.614939297592205 × 6371000     		du = 187.779112239645m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90845786)-sin(-0.90848734))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.614962544499721-0.614939297592205)×R²
    abs(-0.41705103--0.41709896)×2.32469075153174e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.32469075153174e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.32469075153174e-05×40589641000000     		ar = 35268.7911791357m²