Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56827 / 87566
↖ ↑ ↗
← S 51.641885°
W 23.919983°		 ← 189.54 m → S 51.641885°
W 23.917236°		 →
↑
189.54 m
↓
↑
189.54 m
↓
S 51.643590°
W 23.919983°		 ← 189.53 m →
35 924 m²		 S 51.643590°
W 23.917236°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56827 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87566 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.433559417724609 y=0.668079376220703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.433559417724609 × 217)
    floor (0.433559417724609 × 131072)
    floor (56827.5)     		tx = 56827
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.668079376220703 × 217)
    floor (0.668079376220703 × 131072)
    floor (87566.5)     		ty = 87566
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56827 / 87566 ti = "17/56827/87566"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56827/87566.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56827 ÷ 217
    56827 ÷ 131072     		x = 0.433555603027344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87566 ÷ 217
    87566 ÷ 131072     		y = 0.668075561523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.433555603027344 × 2 - 1) × π
    -0.132888793945312 × 3.1415926535     		Λ = -0.41748246
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.668075561523438 × 2 - 1) × π
    -0.336151123046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.05604989862984
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41748246} λ = -0.41748246}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.05604989862984))-π/2
    2×atan(0.347827052390723)-π/2
    2×0.334737698555498-π/2
    0.669475397110997-1.57079632675     		φ = -0.90132093
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41748246} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.919983°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90132093 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.641885°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56827 KachelY 87566 -0.41748246 -0.90132093 -23.919983 -51.641885
    Oben rechts KachelX + 1 56828 KachelY 87566 -0.41743452 -0.90132093 -23.917236 -51.641885
    Unten links KachelX 56827 KachelY + 1 87567 -0.41748246 -0.90135068 -23.919983 -51.643590
    Unten rechts KachelX + 1 56828 KachelY + 1 87567 -0.41743452 -0.90135068 -23.917236 -51.643590
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90132093--0.90135068) × R
    2.97499999999395e-05 × 6371000     		dl = 189.537249999615m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90132093--0.90135068) × R
    2.97499999999395e-05 × 6371000     		dr = 189.537249999615m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41748246--0.41743452) × cos(-0.90132093) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.620574706246954 × 6371000     		do = 189.539488880854m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41748246--0.41743452) × cos(-0.90135068) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.620551377589288 × 6371000     		du = 189.532363708323m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90132093)-sin(-0.90135068))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.620574706246954-0.620551377589288)×R²
    abs(-0.41743452--0.41748246)×2.33286576654113e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.33286576654113e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.33286576654113e-05×40589641000000     		ar = 35924.1182488075m²