Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56825 / 87808
↖ ↑ ↗
← S 52.052490°
W 23.925476°		 ← 187.78 m → S 52.052490°
W 23.922730°		 →
↑
187.82 m
↓
↑
187.82 m
↓
S 52.054179°
W 23.925476°		 ← 187.77 m →
35 267 m²		 S 52.054179°
W 23.922730°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56825 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87808 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.433544158935547 y=0.669925689697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.433544158935547 × 217)
    floor (0.433544158935547 × 131072)
    floor (56825.5)     		tx = 56825
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.669925689697266 × 217)
    floor (0.669925689697266 × 131072)
    floor (87808.5)     		ty = 87808
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56825 / 87808 ti = "17/56825/87808"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56825/87808.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56825 ÷ 217
    56825 ÷ 131072     		x = 0.433540344238281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87808 ÷ 217
    87808 ÷ 131072     		y = 0.669921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.433540344238281 × 2 - 1) × π
    -0.132919311523438 × 3.1415926535     		Λ = -0.41757833
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.669921875 × 2 - 1) × π
    -0.33984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.06765062833789
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41757833} λ = -0.41757833}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.06765062833789))-π/2
    2×atan(0.343815319277005)-π/2
    2×0.331154492072227-π/2
    0.662308984144454-1.57079632675     		φ = -0.90848734
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41757833} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.925476°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90848734 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.052490°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56825 KachelY 87808 -0.41757833 -0.90848734 -23.925476 -52.052490
    Oben rechts KachelX + 1 56826 KachelY 87808 -0.41753040 -0.90848734 -23.922730 -52.052490
    Unten links KachelX 56825 KachelY + 1 87809 -0.41757833 -0.90851682 -23.925476 -52.054179
    Unten rechts KachelX + 1 56826 KachelY + 1 87809 -0.41753040 -0.90851682 -23.922730 -52.054179
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90848734--0.90851682) × R
    2.94800000000262e-05 × 6371000     		dl = 187.817080000167m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90848734--0.90851682) × R
    2.94800000000262e-05 × 6371000     		dr = 187.817080000167m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41757833--0.41753040) × cos(-0.90848734) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.614939297592205 × 6371000     		do = 187.779112239427m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41757833--0.41753040) × cos(-0.90851682) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.614916050150264 × 6371000     		du = 187.772013353364m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90848734)-sin(-0.90851682))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.614939297592205-0.614916050150264)×R²
    abs(-0.41753040--0.41757833)×2.32474419409323e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.32474419409323e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.32474419409323e-05×40589641000000     		ar = 35267.4579024204m²