Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56818 / 87591
↖ ↑ ↗
← S 51.684477°
W 23.944702°		 ← 189.36 m → S 51.684477°
W 23.941955°		 →
↑
189.35 m
↓
↑
189.35 m
↓
S 51.686179°
W 23.944702°		 ← 189.35 m →
35 854 m²		 S 51.686179°
W 23.941955°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56818 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87591 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.433490753173828 y=0.668270111083984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.433490753173828 × 217)
    floor (0.433490753173828 × 131072)
    floor (56818.5)     		tx = 56818
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.668270111083984 × 217)
    floor (0.668270111083984 × 131072)
    floor (87591.5)     		ty = 87591
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56818 / 87591 ti = "17/56818/87591"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56818/87591.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56818 ÷ 217
    56818 ÷ 131072     		x = 0.433486938476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87591 ÷ 217
    87591 ÷ 131072     		y = 0.668266296386719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.433486938476562 × 2 - 1) × π
    -0.133026123046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.41791389
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.668266296386719 × 2 - 1) × π
    -0.336532592773438 × 3.1415926535     		Φ = -1.05724832112034
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41791389} λ = -0.41791389}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.05724832112034))-π/2
    2×atan(0.347410458306053)-π/2
    2×0.334366017916001-π/2
    0.668732035832001-1.57079632675     		φ = -0.90206429
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41791389} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.944702°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90206429 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.684477°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56818 KachelY 87591 -0.41791389 -0.90206429 -23.944702 -51.684477
    Oben rechts KachelX + 1 56819 KachelY 87591 -0.41786595 -0.90206429 -23.941955 -51.684477
    Unten links KachelX 56818 KachelY + 1 87592 -0.41791389 -0.90209401 -23.944702 -51.686179
    Unten rechts KachelX + 1 56819 KachelY + 1 87592 -0.41786595 -0.90209401 -23.941955 -51.686179
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90206429--0.90209401) × R
    2.97200000000108e-05 × 6371000     		dl = 189.346120000069m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90206429--0.90209401) × R
    2.97200000000108e-05 × 6371000     		dr = 189.346120000069m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41791389--0.41786595) × cos(-0.90206429) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.619991631082121 × 6371000     		do = 189.361402717159m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41791389--0.41786595) × cos(-0.90209401) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.619968312245982 × 6371000     		du = 189.354280544375m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90206429)-sin(-0.90209401))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.619991631082121-0.619968312245982)×R²
    abs(-0.41786595--0.41791389)×2.33188361397074e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.33188361397074e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.33188361397074e-05×40589641000000     		ar = 35854.1726069613m²