Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 56802 / 87674
↖ ↑ ↗
← S 51.825593°
W 23.988647°		 ← 188.77 m → S 51.825593°
W 23.985901°		 →
↑
188.77 m
↓
↑
188.77 m
↓
S 51.827291°
W 23.988647°		 ← 188.76 m →
35 634 m²		 S 51.827291°
W 23.985901°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56802 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87674 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.433368682861328 y=0.668903350830078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.433368682861328 × 217)
    floor (0.433368682861328 × 131072)
    floor (56802.5)     		tx = 56802
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.668903350830078 × 217)
    floor (0.668903350830078 × 131072)
    floor (87674.5)     		ty = 87674
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56802 / 87674 ti = "17/56802/87674"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56802/87674.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56802 ÷ 217
    56802 ÷ 131072     		x = 0.433364868164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87674 ÷ 217
    87674 ÷ 131072     		y = 0.668899536132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.433364868164062 × 2 - 1) × π
    -0.133270263671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.41868088
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.668899536132812 × 2 - 1) × π
    -0.337799072265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.0612270837888
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41868088} λ = -0.41868088}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.0612270837888))-π/2
    2×atan(0.346030940750263)-π/2
    2×0.333134542579138-π/2
    0.666269085158276-1.57079632675     		φ = -0.90452724
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41868088} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.988647°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90452724 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.825593°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56802 KachelY 87674 -0.41868088 -0.90452724 -23.988647 -51.825593
    Oben rechts KachelX + 1 56803 KachelY 87674 -0.41863294 -0.90452724 -23.985901 -51.825593
    Unten links KachelX 56802 KachelY + 1 87675 -0.41868088 -0.90455687 -23.988647 -51.827291
    Unten rechts KachelX + 1 56803 KachelY + 1 87675 -0.41863294 -0.90455687 -23.985901 -51.827291
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90452724--0.90455687) × R
    2.96300000000027e-05 × 6371000     		dl = 188.772730000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90452724--0.90455687) × R
    2.96300000000027e-05 × 6371000     		dr = 188.772730000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41868088--0.41863294) × cos(-0.90452724) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.618057301248822 × 6371000     		do = 188.770608596201m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41868088--0.41863294) × cos(-0.90455687) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.618034007855245 × 6371000     		du = 188.76349419423m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90452724)-sin(-0.90455687))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.618057301248822-0.618034007855245)×R²
    abs(-0.41863294--0.41868088)×2.32933935770951e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.32933935770951e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.32933935770951e-05×40589641000000     		ar = 35634.0716286361m²