Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56758 / 87702
↖ ↑ ↗
← S 51.873100°
W 24.109497°		 ← 188.53 m → S 51.873100°
W 24.106751°		 →
↑
188.58 m
↓
↑
188.58 m
↓
S 51.874795°
W 24.109497°		 ← 188.53 m →
35 553 m²		 S 51.874795°
W 24.106751°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56758 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87702 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.433032989501953 y=0.669116973876953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.433032989501953 × 217)
    floor (0.433032989501953 × 131072)
    floor (56758.5)     		tx = 56758
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.669116973876953 × 217)
    floor (0.669116973876953 × 131072)
    floor (87702.5)     		ty = 87702
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56758 / 87702 ti = "17/56758/87702"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56758/87702.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56758 ÷ 217
    56758 ÷ 131072     		x = 0.433029174804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87702 ÷ 217
    87702 ÷ 131072     		y = 0.669113159179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.433029174804688 × 2 - 1) × π
    -0.133941650390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.42079010
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.669113159179688 × 2 - 1) × π
    -0.338226318359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.06256931697816
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42079010} λ = -0.42079010}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.06256931697816))-π/2
    2×atan(0.34556679810056)-π/2
    2×0.332719972876232-π/2
    0.665439945752465-1.57079632675     		φ = -0.90535638
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42079010} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.109497°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90535638 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.873100°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56758 KachelY 87702 -0.42079010 -0.90535638 -24.109497 -51.873100
    Oben rechts KachelX + 1 56759 KachelY 87702 -0.42074217 -0.90535638 -24.106751 -51.873100
    Unten links KachelX 56758 KachelY + 1 87703 -0.42079010 -0.90538598 -24.109497 -51.874795
    Unten rechts KachelX + 1 56759 KachelY + 1 87703 -0.42074217 -0.90538598 -24.106751 -51.874795
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90535638--0.90538598) × R
    2.9600000000074e-05 × 6371000     		dl = 188.581600000472m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90535638--0.90538598) × R
    2.9600000000074e-05 × 6371000     		dr = 188.581600000472m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42079010--0.42074217) × cos(-0.90535638) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.617405274517508 × 6371000     		do = 188.53212795927m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42079010--0.42074217) × cos(-0.90538598) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.617381989548059 × 6371000     		du = 188.525017613731m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90535638)-sin(-0.90538598))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.617405274517508-0.617381989548059)×R²
    abs(-0.42074217--0.42079010)×2.32849694490334e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.32849694490334e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.32849694490334e-05×40589641000000     		ar = 35553.0199046254m²