Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56757 / 87817
↖ ↑ ↗
← S 52.067689°
W 24.112244°		 ← 187.75 m → S 52.067689°
W 24.109497°		 →
↑
187.75 m
↓
↑
187.75 m
↓
S 52.069377°
W 24.112244°		 ← 187.75 m →
35 251 m²		 S 52.069377°
W 24.109497°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56757 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87817 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.433025360107422 y=0.669994354248047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.433025360107422 × 217)
    floor (0.433025360107422 × 131072)
    floor (56757.5)     		tx = 56757
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.669994354248047 × 217)
    floor (0.669994354248047 × 131072)
    floor (87817.5)     		ty = 87817
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56757 / 87817 ti = "17/56757/87817"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56757/87817.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56757 ÷ 217
    56757 ÷ 131072     		x = 0.433021545410156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87817 ÷ 217
    87817 ÷ 131072     		y = 0.669990539550781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.433021545410156 × 2 - 1) × π
    -0.133956909179688 × 3.1415926535     		Λ = -0.42083804
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.669990539550781 × 2 - 1) × π
    -0.339981079101562 × 3.1415926535     		Φ = -1.06808206043447
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42083804} λ = -0.42083804}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.06808206043447))-π/2
    2×atan(0.343667018306173)-π/2
    2×0.331021862361695-π/2
    0.662043724723389-1.57079632675     		φ = -0.90875260
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42083804} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.112244°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90875260 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.067689°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56757 KachelY 87817 -0.42083804 -0.90875260 -24.112244 -52.067689
    Oben rechts KachelX + 1 56758 KachelY 87817 -0.42079010 -0.90875260 -24.109497 -52.067689
    Unten links KachelX 56757 KachelY + 1 87818 -0.42083804 -0.90878207 -24.112244 -52.069377
    Unten rechts KachelX + 1 56758 KachelY + 1 87818 -0.42079010 -0.90878207 -24.109497 -52.069377
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90875260--0.90878207) × R
    2.94699999999759e-05 × 6371000     		dl = 187.753369999846m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90875260--0.90878207) × R
    2.94699999999759e-05 × 6371000     		dr = 187.753369999846m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42083804--0.42079010) × cos(-0.90875260) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.614730098702096 × 6371000     		do = 187.754395296455m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42083804--0.42079010) × cos(-0.90878207) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.614706854339878 × 6371000     		du = 187.747295869924m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90875260)-sin(-0.90878207))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.614730098702096-0.614706854339878)×R²
    abs(-0.42079010--0.42083804)×2.32443622176781e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.32443622176781e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.32443622176781e-05×40589641000000     		ar = 35250.8539811955m²