Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56736 / 87584
↖ ↑ ↗
← S 51.672555°
W 24.169922°		 ← 189.41 m → S 51.672555°
W 24.167175°		 →
↑
189.41 m
↓
↑
189.41 m
↓
S 51.674259°
W 24.169922°		 ← 189.40 m →
35 876 m²		 S 51.674259°
W 24.167175°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56736 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87584 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432865142822266 y=0.668216705322266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432865142822266 × 217)
    floor (0.432865142822266 × 131072)
    floor (56736.5)     		tx = 56736
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.668216705322266 × 217)
    floor (0.668216705322266 × 131072)
    floor (87584.5)     		ty = 87584
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56736 / 87584 ti = "17/56736/87584"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56736/87584.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56736 ÷ 217
    56736 ÷ 131072     		x = 0.432861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87584 ÷ 217
    87584 ÷ 131072     		y = 0.668212890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.432861328125 × 2 - 1) × π
    -0.13427734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.42184472
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.668212890625 × 2 - 1) × π
    -0.33642578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.056912762823
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42184472} λ = -0.42184472}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.056912762823))-π/2
    2×atan(0.347527054329208)-π/2
    2×0.33447005327788-π/2
    0.66894010655576-1.57079632675     		φ = -0.90185622
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42184472} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.169922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90185622 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.672555°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56736 KachelY 87584 -0.42184472 -0.90185622 -24.169922 -51.672555
    Oben rechts KachelX + 1 56737 KachelY 87584 -0.42179678 -0.90185622 -24.167175 -51.672555
    Unten links KachelX 56736 KachelY + 1 87585 -0.42184472 -0.90188595 -24.169922 -51.674259
    Unten rechts KachelX + 1 56737 KachelY + 1 87585 -0.42179678 -0.90188595 -24.167175 -51.674259
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90185622--0.90188595) × R
    2.97300000000611e-05 × 6371000     		dl = 189.409830000389m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90185622--0.90188595) × R
    2.97300000000611e-05 × 6371000     		dr = 189.409830000389m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42184472--0.42179678) × cos(-0.90185622) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.620154871134822 × 6371000     		do = 189.411260431053m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42184472--0.42179678) × cos(-0.90188595) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.620131548288066 × 6371000     		du = 189.404137033323m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90185622)-sin(-0.90188595))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.620154871134822-0.620131548288066)×R²
    abs(-0.42179678--0.42184472)×2.3322846756213e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.3322846756213e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.3322846756213e-05×40589641000000     		ar = 35875.6800201139m²