Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56722 / 89742
↖ ↑ ↗
← S 55.200818°
W 24.208374°		 ← 174.27 m → S 55.200818°
W 24.205628°		 →
↑
174.31 m
↓
↑
174.31 m
↓
S 55.202386°
W 24.208374°		 ← 174.26 m →
30 377 m²		 S 55.202386°
W 24.205628°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56722 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89742 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432758331298828 y=0.684680938720703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432758331298828 × 217)
    floor (0.432758331298828 × 131072)
    floor (56722.5)     		tx = 56722
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.684680938720703 × 217)
    floor (0.684680938720703 × 131072)
    floor (89742.5)     		ty = 89742
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56722 / 89742 ti = "17/56722/89742"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56722/89742.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56722 ÷ 217
    56722 ÷ 131072     		x = 0.432754516601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89742 ÷ 217
    89742 ÷ 131072     		y = 0.684677124023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.432754516601562 × 2 - 1) × π
    -0.134490966796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.42251583
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.684677124023438 × 2 - 1) × π
    -0.369354248046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.16036059220308
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42251583} λ = -0.42251583}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16036059220308))-π/2
    2×atan(0.313373160588349)-π/2
    2×0.303680147773413-π/2
    0.607360295546826-1.57079632675     		φ = -0.96343603
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42251583} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.208374°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96343603 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.200818°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56722 KachelY 89742 -0.42251583 -0.96343603 -24.208374 -55.200818
    Oben rechts KachelX + 1 56723 KachelY 89742 -0.42246790 -0.96343603 -24.205628 -55.200818
    Unten links KachelX 56722 KachelY + 1 89743 -0.42251583 -0.96346339 -24.208374 -55.202386
    Unten rechts KachelX + 1 56723 KachelY + 1 89743 -0.42246790 -0.96346339 -24.205628 -55.202386
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96343603--0.96346339) × R
    2.73600000000318e-05 × 6371000     		dl = 174.310560000203m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96343603--0.96346339) × R
    2.73600000000318e-05 × 6371000     		dr = 174.310560000203m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42251583--0.42246790) × cos(-0.96343603) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.570701839234894 × 6371000     		do = 174.270672153406m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42251583--0.42246790) × cos(-0.96346339) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.570679372155909 × 6371000     		du = 174.263811560559m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96343603)-sin(-0.96346339))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.570701839234894-0.570679372155909)×R²
    abs(-0.42246790--0.42251583)×2.24670789853443e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.24670789853443e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.24670789853443e-05×40589641000000     		ar = 30376.6205195413m²