Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56722 / 88189
↖ ↑ ↗
← S 52.691367°
W 24.208374°		 ← 185.08 m → S 52.691367°
W 24.205628°		 →
↑
185.14 m
↓
↑
185.14 m
↓
S 52.693032°
W 24.208374°		 ← 185.08 m →
34 266 m²		 S 52.693032°
W 24.205628°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56722 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88189 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432758331298828 y=0.672832489013672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432758331298828 × 217)
    floor (0.432758331298828 × 131072)
    floor (56722.5)     		tx = 56722
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.672832489013672 × 217)
    floor (0.672832489013672 × 131072)
    floor (88189.5)     		ty = 88189
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56722 / 88189 ti = "17/56722/88189"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56722/88189.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56722 ÷ 217
    56722 ÷ 131072     		x = 0.432754516601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88189 ÷ 217
    88189 ÷ 131072     		y = 0.672828674316406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.432754516601562 × 2 - 1) × π
    -0.134490966796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.42251583
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.672828674316406 × 2 - 1) × π
    -0.345657348632812 × 3.1415926535     		Φ = -1.08591458709313
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42251583} λ = -0.42251583}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.08591458709313))-π/2
    2×atan(0.337592886561791)-π/2
    2×0.325579241021859-π/2
    0.651158482043718-1.57079632675     		φ = -0.91963784
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42251583} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.208374°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91963784 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.691367°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56722 KachelY 88189 -0.42251583 -0.91963784 -24.208374 -52.691367
    Oben rechts KachelX + 1 56723 KachelY 88189 -0.42246790 -0.91963784 -24.205628 -52.691367
    Unten links KachelX 56722 KachelY + 1 88190 -0.42251583 -0.91966690 -24.208374 -52.693032
    Unten rechts KachelX + 1 56723 KachelY + 1 88190 -0.42246790 -0.91966690 -24.205628 -52.693032
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91963784--0.91966690) × R
    2.90599999999142e-05 × 6371000     		dl = 185.141259999453m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91963784--0.91966690) × R
    2.90599999999142e-05 × 6371000     		dr = 185.141259999453m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42251583--0.42246790) × cos(-0.91963784) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.606108251990232 × 6371000     		do = 185.082446227388m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42251583--0.42246790) × cos(-0.91966690) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.606085137928624 × 6371000     		du = 185.075388070614m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91963784)-sin(-0.91966690))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.606108251990232-0.606085137928624)×R²
    abs(-0.42246790--0.42251583)×2.31140616078207e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.31140616078207e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.31140616078207e-05×40589641000000     		ar = 34265.7439227786m²