Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56716 / 89755
↖ ↑ ↗
← S 55.221190°
W 24.224853°		 ← 174.18 m → S 55.221190°
W 24.222107°		 →
↑
174.18 m
↓
↑
174.18 m
↓
S 55.222757°
W 24.224853°		 ← 174.17 m →
30 339 m²		 S 55.222757°
W 24.222107°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56716 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89755 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432712554931641 y=0.684780120849609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432712554931641 × 217)
    floor (0.432712554931641 × 131072)
    floor (56716.5)     		tx = 56716
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.684780120849609 × 217)
    floor (0.684780120849609 × 131072)
    floor (89755.5)     		ty = 89755
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56716 / 89755 ti = "17/56716/89755"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56716/89755.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56716 ÷ 217
    56716 ÷ 131072     		x = 0.432708740234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89755 ÷ 217
    89755 ÷ 131072     		y = 0.684776306152344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.432708740234375 × 2 - 1) × π
    -0.13458251953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.42280345
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.684776306152344 × 2 - 1) × π
    -0.369552612304688 × 3.1415926535     		Φ = -1.16098377189814
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42280345} λ = -0.42280345}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16098377189814))-π/2
    2×atan(0.313177933634748)-π/2
    2×0.303502368369689-π/2
    0.607004736739377-1.57079632675     		φ = -0.96379159
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42280345} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.224853°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96379159 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.221190°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56716 KachelY 89755 -0.42280345 -0.96379159 -24.224853 -55.221190
    Oben rechts KachelX + 1 56717 KachelY 89755 -0.42275552 -0.96379159 -24.222107 -55.221190
    Unten links KachelX 56716 KachelY + 1 89756 -0.42280345 -0.96381893 -24.224853 -55.222757
    Unten rechts KachelX + 1 56717 KachelY + 1 89756 -0.42275552 -0.96381893 -24.222107 -55.222757
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96379159--0.96381893) × R
    2.73399999999313e-05 × 6371000     		dl = 174.183139999562m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96379159--0.96381893) × R
    2.73399999999313e-05 × 6371000     		dr = 174.183139999562m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42280345--0.42275552) × cos(-0.96379159) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.570409832455054 × 6371000     		do = 174.181504370542m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42280345--0.42275552) × cos(-0.96381893) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.570387376253258 × 6371000     		du = 174.174647099175m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96379159)-sin(-0.96381893))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.570409832455054-0.570387376253258)×R²
    abs(-0.42275552--0.42280345)×2.24562017960839e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.24562017960839e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.24562017960839e-05×40589641000000     		ar = 30338.8841524342m²