Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56715 / 89752
↖ ↑ ↗
← S 55.216490°
W 24.227600°		 ← 174.24 m → S 55.216490°
W 24.224853°		 →
↑
174.25 m
↓
↑
174.25 m
↓
S 55.218057°
W 24.227600°		 ← 174.23 m →
30 360 m²		 S 55.218057°
W 24.224853°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56715 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89752 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432704925537109 y=0.684757232666016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432704925537109 × 217)
    floor (0.432704925537109 × 131072)
    floor (56715.5)     		tx = 56715
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.684757232666016 × 217)
    floor (0.684757232666016 × 131072)
    floor (89752.5)     		ty = 89752
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56715 / 89752 ti = "17/56715/89752"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56715/89752.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56715 ÷ 217
    56715 ÷ 131072     		x = 0.432701110839844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89752 ÷ 217
    89752 ÷ 131072     		y = 0.68475341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.432701110839844 × 2 - 1) × π
    -0.134597778320312 × 3.1415926535     		Λ = -0.42285139
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68475341796875 × 2 - 1) × π
    -0.3695068359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.16083996119928
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42285139} λ = -0.42285139}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16083996119928))-π/2
    2×atan(0.313222975210904)-π/2
    2×0.30354338631044-π/2
    0.607086772620881-1.57079632675     		φ = -0.96370955
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42285139} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.227600°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96370955 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.216490°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56715 KachelY 89752 -0.42285139 -0.96370955 -24.227600 -55.216490
    Oben rechts KachelX + 1 56716 KachelY 89752 -0.42280345 -0.96370955 -24.224853 -55.216490
    Unten links KachelX 56715 KachelY + 1 89753 -0.42285139 -0.96373690 -24.227600 -55.218057
    Unten rechts KachelX + 1 56716 KachelY + 1 89753 -0.42280345 -0.96373690 -24.224853 -55.218057
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96370955--0.96373690) × R
    2.73499999999816e-05 × 6371000     		dl = 174.246849999882m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96370955--0.96373690) × R
    2.73499999999816e-05 × 6371000     		dr = 174.246849999882m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42285139--0.42280345) × cos(-0.96370955) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.57047721492844 × 6371000     		do = 174.238425522544m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42285139--0.42280345) × cos(-0.96373690) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.570454751792818 × 6371000     		du = 174.231564702724m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96370955)-sin(-0.96373690))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.57047721492844-0.570454751792818)×R²
    abs(-0.42280345--0.42285139)×2.24631356217087e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.24631356217087e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.24631356217087e-05×40589641000000     		ar = 30359.8990600972m²