Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56638 / 87864
↖ ↑ ↗
← S 52.146973°
W 24.439087°		 ← 187.38 m → S 52.146973°
W 24.436341°		 →
↑
187.43 m
↓
↑
187.43 m
↓
S 52.148659°
W 24.439087°		 ← 187.37 m →
35 121 m²		 S 52.148659°
W 24.436341°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56638 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87864 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432117462158203 y=0.670352935791016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432117462158203 × 217)
    floor (0.432117462158203 × 131072)
    floor (56638.5)     		tx = 56638
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.670352935791016 × 217)
    floor (0.670352935791016 × 131072)
    floor (87864.5)     		ty = 87864
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56638 / 87864 ti = "17/56638/87864"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56638/87864.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56638 ÷ 217
    56638 ÷ 131072     		x = 0.432113647460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87864 ÷ 217
    87864 ÷ 131072     		y = 0.67034912109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.432113647460938 × 2 - 1) × π
    -0.135772705078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.42654253
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.67034912109375 × 2 - 1) × π
    -0.3406982421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.07033509471661
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42654253} λ = -0.42654253}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.07033509471661))-π/2
    2×atan(0.342893596332566)-π/2
    2×0.330329973534856-π/2
    0.660659947069713-1.57079632675     		φ = -0.91013638
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42654253} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.439087°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91013638 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.146973°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56638 KachelY 87864 -0.42654253 -0.91013638 -24.439087 -52.146973
    Oben rechts KachelX + 1 56639 KachelY 87864 -0.42649460 -0.91013638 -24.436341 -52.146973
    Unten links KachelX 56638 KachelY + 1 87865 -0.42654253 -0.91016580 -24.439087 -52.148659
    Unten rechts KachelX + 1 56639 KachelY + 1 87865 -0.42649460 -0.91016580 -24.436341 -52.148659
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91013638--0.91016580) × R
    2.94200000000577e-05 × 6371000     		dl = 187.434820000368m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91013638--0.91016580) × R
    2.94200000000577e-05 × 6371000     		dr = 187.434820000368m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42654253--0.42649460) × cos(-0.91013638) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.613638071261443 × 6371000     		do = 187.381767125577m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42654253--0.42649460) × cos(-0.91016580) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.613614841333546 × 6371000     		du = 187.374673587637m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91013638)-sin(-0.91016580))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.613638071261443-0.613614841333546)×R²
    abs(-0.42649460--0.42654253)×2.32299278972725e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.32299278972725e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.32299278972725e-05×40589641000000     		ar = 35121.2030070852m²